【数据结构】二叉树、堆

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目录

1.树概念及结构

1.1树的概念

1.2树的相关概念 

1.3 树的表示

2.二叉树概念及结构

2.1二叉树概念

2.2 特殊的二叉树：

 2.3 二叉树的性质

3.堆

3.1堆概念

 3.2堆排序O(N*logN)

3.3堆的相关函数接口和函数

3.3.1.堆的初始化

3.3.2.堆的元素插入

3.3.3.堆元素的删除

3.3.4.获取堆顶的数据

3.3.5.获取堆的数据个数

3.3.6.关于堆的判空

3.3.7打印堆元素，以数组的形式

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1.树概念及结构

1.1树的概念

　　树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

 

　　其中有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点，除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的。

　　任何一个节点，都会有0-N个孩子，每个树都会被分为根和子树。子树也可以被分成根和子树，知道最下面子树为空。

　　注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。（每个节点可以一指多，不能多指1）

 

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1.2树的相关概念 

提示：以树的结构+人类亲属关系理解更佳哦~

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6，B的度为0

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：（亲兄弟节点）具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林（并查集）

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1.3 树的表示

　　树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，下面介绍几种存储方式：

方法1：

 方法2：

 方法3：孩子兄弟表示法

结合以下图例理解更佳：

方法4：双亲表示法

用一个数组表示这个数，只存储父亲的下标，可以方便孩子找祖先。

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2.二叉树概念及结构

2.1二叉树概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

请注意： 

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

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2.2 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：

　　一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

   

2. 完全二叉树：

　　完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

前K-1层时满的，最后一层满或者不满，不满的话要求从左到右是连续的。总节点数量范围为： 

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 2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有​​​​​​​个结点。

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 。

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为N0 , 度为2的分支结点个数为N2 ,则有N0 ＝N2 ＋1。

4. 若规定根节点的层数为1，具有N个结点的满二叉树的深度，h= log(N+1). (ps:是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有： 

5.1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

5.2. 若2i+1左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

5.3. 若2i+1右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

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3.堆

3.1堆概念​​​​​​​

二叉树的第一个应用结构。堆是一个完全二叉树。

堆在内存中储存是以数组的形式。

请注意：堆不是有序的，因为没有规定兄弟节点的大小关系。

任意一个节点都大于等于其对应的子节点的值 

任意一个节点都小于等于其对应的子节点的值 

小根堆和大根堆指针保证找到最小数和最大数。

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 3.2堆排序O(N*logN)

堆排序 时间复杂度-O(N*logN)

可以解决topK问题（寻找一堆数据的前K大，或者前K小）

可以通过数组下标计算父子关系公式:

leftchild = parent*2+1 奇数

rightchild = parent*2+2偶数
parent = (child-1)/2

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3.3堆的相关函数接口和函数

总体以数组的方式储存，以树的结构访问

以下使用的结构体的定义：

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

3.3.1.堆的初始化

void HeapTnit(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = NULL;
	hp->capacity = hp->size = 0;
}

3.3.2.堆的元素插入

//交换
void swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
{
	HPDataType tmp = 0;
	tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}
 
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)//从孩子的位置向上调整
{
	int parent = (child - 1) / 2;
 
	//请注意（-1）/2=0 所以不能用parent>=0作为判断方式
 
	while (child > 0)//child到0就不用交换了
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	
}
 
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
	assert(hp);
 
	//判断是否需要扩容
	if (hp->capacity == hp->size)
	{
		int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->capacity;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc error");
			exit(-1);
		}
		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newcapacity;
	}
 
	//把数据添加到最后
	hp->a[hp->size] = x;
 
	//向上比较，对应需要的话，改变位置
	AdjustUp(hp->a, hp->size);
 
	hp->size++;
 
}

3.3.3.堆元素的删除

 
void AdjustDown(HPDataType* a, int size)//从孩子的位置向上调整
{
	assert(a);
	int parent = 0;
	HPDataType minchild = parent*2+1;
	while (minchild < size)
	{
		if (a[minchild] > a[minchild + 1])//找到较小的子节点
		{
			minchild = minchild + 1;		
		}
		if (a[parent] > a[minchild])//条件满足，和较小的子节点交换位置
		{
			swap(&a[parent], &a[minchild]);
			parent = minchild;
			minchild = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
 
}
 
 
// 堆的删除,堆的头删
void HeapPop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
 
	//交换第一个元素和最后一个元素
	swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
 
	//用现在的第一个元素向下比较，改变位置
	hp->size--;
	AdjustDown(hp->a, hp->size);
 
}

3.3.4.获取堆顶的数据

HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
	return hp->a[0];
}
 

3.3.5.获取堆的数据个数

// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
	return hp->size;
}

3.3.6.关于堆的判空

// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}

3.3.7打印堆元素，以数组的形式

//打印堆元素，以数组的形式
void HeapPrint(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(!HeapEmpty(hp));
	int i = 0;
	for (i = 0; i < hp->size; i++)
	{
		printf("%d ", hp->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

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大家好！这里是媛仔^-^,最近发现了一个很可爱的狗狗分享给大家，希望大家在学习之余也能收获生活的小惊喜~我们下一篇见！小狗wink~