来自北大算法课的Leetcode题解：69. x的平方根

本题代码：https://github.com/doubleZ0108/Leetcode/blob/master/69.x-%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9.py

• 解法1(爆内存): 依次循环直到 $i^2<target<(i+1{)}^2$
  • 这里如果用乘法容易int溢出，用除法就会避免
  • 改进(T57% S83%)：可以从1～x/2二分查找降复杂度
• 解法2(T80% S98%): 牛顿迭代法

【牛顿迭代法】

平方根相当于求解$x^2=n⟺f(x)=x^2-n$的解，牛顿迭代法从一个很大的数开始，不断做函数切线，取切线于x轴交点不断迭代

$x_i$处的切线方程$f(x_i)+f^{\prime }(x_i)(x-x_i)=0$

解方程得$x=\frac{x_i^2+n}{2x_i}$

终止条件是$x,x_i$足够近，对于整数问题就是判断这两个数是不是差了1

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或者可以通过泰勒函数展开来求近似解，本质是一样的

class Solution(object):
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        if x < 2:   # 0, 1
            return x

        # 解法2
        t = x
        while t > x//t:
            t = (t**2 + x) // (2*t)
        return t
    
    def otherSolution(self, x):
        if x < 2:
            return x

        # 解法1: 直接顺序解会爆内存
        for i in range(1, x//2+1):
            if i*i <= x and (i+1)*(i+1) > x:
                return i

        # 解法1 改进
        i, j = 1, x//2+1
        while i<=j:
            mid = (i+j)//2
            if mid**2 <= x:
                i = mid + 1
            else:
                j = mid - 1
        return (i+j)//2
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# 标准的牛顿法
root = x/2
for _ in range(20):  # 迭代20次
	root = (1/2) * (root + (x/root))
return root
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