奇异信号的性质

冲激函数$\delta (t)$的导数：${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{(n)}(t)\phi (t)dt=(-1{)}^n{\phi }^{(n)}(0)$

因此，性质：

1. 筛选：$f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t)$；$f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$

2. 移位：$f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)=f(t_0){\delta }^{\prime }(t-t_0)-f^{\prime }(t_0)\delta (t-t_0)$；$f(t)\delta (t-t_0)=f(t_0)\delta (t-t_0)$

3. 尺度变换：$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$；${\delta }^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\cdot \frac{1}{a^n}\delta (t)$

4. 奇偶性：n为偶数的时候（包括0），${\delta }^{(n)}(t)$为偶函数；n为奇数的时候，${\delta }^{(n)}(t)$为奇函数

5. 复合函数形式的冲激函数：若f(t)=0，有n个单根：$\delta [f(t)]={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{|f^{\prime }(t_i)|}\delta (t-t_i)$；若f(t)=0有重根，则$\delta (t)$没有意义。