【线性代数基础进阶】矩阵-part1

一、概念、运算

概念

$m\times n$个数排成如下$m$行$n$列的一个表格
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 2 2 ⋯ a 2 ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n )

⎝ ⎛​a11​a21​⋮am1​​a12​a2​2⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2​⋮amn​​⎠ ⎞​
称为一个$m\times n$矩阵
当$m=n$时，称为$n$阶矩阵或$n$阶方阵，简记为$A$

如果一个矩阵的所有元素都是$0$，即
( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 )

⎝ ⎛​00⋮0​00⋮0​⋯⋯⋯​00⋮0​⎠ ⎞​
称这个矩阵为零矩阵，简记$O$

如果$A$和$B$都是$m\times n$矩阵，称为$A$和$B$是同型矩阵
设$A$和$B$都是$m\times n$矩阵，如果
$$a_{ij}=b_{ij}(\forall i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$$
称矩阵$A$和$B$相等，记作$A=B$

一个矩阵主对角元素的和叫际

运算

加法

同型矩阵可以做加法
$$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$$

加法运算法则（$A,B,C$同型）

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C$
• $A+O=O+A=A$
• $A+(-A)=O$

数乘

数乘，注意不要和行列式混
$$kA=(k{a}_{ij})$$

数乘运算法则

• $k(mA)=m(kA)=(km)A$
• $(k+m)A=kA+mA$
• $k(A+B)=kA+kB$
• $1A=A,0A=O$

乘法

A = ( a i j ) m × s , B = ( b i j ) s × n A B = C = ( c i j ) m × n c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i s b s j = ∑ k = 1 s a i k b k j

A=(aij​)m×s​,B=(bij​)s×n​AB=C=(cij​)m×n​cij​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋯+ais​bsj​=k=1∑s​aik​bkj​​​

注意：

1. $AB\ne BA$
2. $AB=O\nRightarrow A=O或B=O$
3. $AB=AC,A\ne O\nRightarrow B=C$

对于向量，行在前列在后，乘出来是数；行在后列在前，乘出来是方阵

转置

设$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，将$A$和行、列互换，得到的$n\times m$的矩阵$(a_{ji}{)}_{n\times m}$称为$A$的转置矩阵，记为$A^T$

转置运算法则：

• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(kA{)}^T=k{A}^T$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
• $(A^T{)}^T=A$

对角矩阵

Λ = ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ) \Lambda=

Λ=⎝ ⎛​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​⎠ ⎞​
这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是$0$，我们把这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，对角阵也记作$\Lambda =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$
有
$$diag(a_1,a_2,\cdots ,a_n)diag(b_1,b_2,\cdots ,b_n)=diag(a_1{b}_1,a_2{b}_2,\cdots ,a_n{b}_n)$$

运算法则

• ${\Lambda }_1{\Lambda }_2={\Lambda }_2{\Lambda }_1$
• $diag(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^k=diag(a_1^k,a_2^k,\cdots ,a_n^k)$
• $diag(a_1,a_2,\cdots ,a_n)diag(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\cdots ,\frac{1}{a_n})=diag(1,1,\cdots ,1)$
  $diag(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{-1}=diag(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\cdots ,\frac{1}{a_n})$

例：设 α = ( 2 3 1 ) T , β = ( 3 − 1 2 ) T \alpha=

^{T},\beta=^{T} α=(2​3​1​)T,β=(3​−1​2​)T

α β T = ( 6 − 2 4 9 − 3 6 3 − 1 2 ) β α T = ( 6 9 3 − 2 − 3 − 1 4 6 2 ) α T β = 5 β T α = 5 α β T , β α T , α T β , β T α 的迹相等 α α T = ( 4 6 2 4 9 3 2 3 1 ) 是对称矩阵 α T α = 2 2 + 3 2 + 1 2 = 14 是个元素的平方和

αβTβαTαTββTαααTαTα​=⎝ ⎛​693​−2−3−1​462​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​6−24​9−36​3−12​⎠ ⎞​=5=5αβT,βαT,αTβ,βTα的迹相等=⎝ ⎛​442​693​231​⎠ ⎞​是对称矩阵=22+32+12=14是个元素的平方和​

例：
{ x 1 + 2 x 2 − x 3 + 4 x 4 = 2 2 x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + 7 x 2 − 4 x 3 + 11 x 4 = 5

⎩ ⎨ ⎧​x1​+2x2​−x3​+4x4​=22x1​−x2​+x3​+x4​=1x1​+7x2​−4x3​+11x4​=5​
可表示为
( 1 2 − 1 4 2 − 1 1 1 1 7 − 4 11 ) ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = ( 2 1 5 )

(12−142−11117−411)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜1212−17−11−44111⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 4\\ 2& -1& 1& 1\\ 1& 7& -4& 11\end{array}\right)$$

(x1x2x3x4)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜⎜⎜x1x2x3x4⎞⎠⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)$$

=

(215)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜215⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right)$$

⎝ ⎛​121​2−17​−11−4​4111​⎠ ⎞​⎝ ⎛​x1​x2​x3​x4​​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​215​⎠ ⎞​
记作
$$Ax=b$$
向量表示
( α 1 α 2 α 3 α 4 ) ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = b

(α1α2α3α4)" role="presentation" style="position: relative;">(α1α2α3α4)$$\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3& {\alpha }_4\end{array}\right)$$

(x1x2x3x4)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜⎜⎜x1x2x3x4⎞⎠⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)$$

=b (α1​​α2​​α3​​α4​​)⎝ ⎛​x1​x2​x3​x4​​⎠ ⎞​=b
即
$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3+x_4{\alpha }_4=b$$

例：$\alpha =(1,2,3),\beta =(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}),A={\alpha }^T\beta$，则$A^n=()$

有行有列相乘中间有数

A n = ( α T β ) ( α T β ) ⋯ ( α T β ) = α T ( β α T ) ( β α T ) ⋯ ( β α T ) β = 3 n − 1 α T β = 3 n − 1 ( 1 1 2 1 3 2 1 2 3 3 3 2 1 )

An​=(αTβ)(αTβ)⋯(αTβ)=αT(βαT)(βαT)⋯(βαT)β=3n−1αTβ=3n−1⎝ ⎛​123​21​123​​31​32​1​⎠ ⎞​​

例：设$A=E-\xi {\xi }^T$，其中$\xi$是$n$为非$0$列向量，证明：$A^2=A\iff {\xi }^T\xi =1$

A 2 = ( E − ξ ξ T ) ( E − ξ ξ T ) = ( E − ξ ξ T ) − ξ ξ T + ξ ξ T ξ ξ T = A + ( ξ T ξ − 1 ) ξ ξ T

A2​=(E−ξξT)(E−ξξT)=(E−ξξT)−ξξT+ξξTξξT=A+(ξTξ−1)ξξT​
由于$\xi \ne 0$，则$\xi {\xi }^T\ne 0$
A 2 = A ⇔ ( ξ T ξ − 1 ) ξ ξ T = 0 ⇔ ξ T ξ − 1 = 0 ⇔ ξ T ξ = 1

A2=A⇔(ξTξ−1)ξξT=0⇔ξTξ−1=0⇔ξTξ=1" role="presentation" style="position: relative;">A2=A⇔(ξTξ−1)ξξT=0⇔ξTξ−1=0⇔ξTξ=1$$\begin{array}{rl}{A}^2=A& \iff ({\xi }^T\xi -1)\xi {\xi }^T=0\\ & \iff {\xi }^T\xi -1=0\\ & \iff {\xi }^T\xi =1\end{array}$$

A2=A​⇔(ξTξ−1)ξξT=0⇔ξTξ−1=0⇔ξTξ=1​

二、伴随矩阵、可逆矩阵

伴随矩阵

$A$的伴随矩阵$A^{\ast }$
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) , 其中 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A^{*}=

,其中A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} A∗=⎝ ⎛​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​⎠ ⎞​,其中Aij​=(−1)i+jMij​

例：求 A = ( a b c d ) A=

A=(ac​bd​)的伴随矩阵

$$A_{11}=d,A_{12}=-c,A_{21}=-b,A_{22}=a$$
有
( a b c d ) ∗ = ( d − b − c a )

^{*}= (ac​bd​)∗=(d−c​−ba​)

主对角线互换，副对角线变号

伴随矩阵的公式

• $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
  A A ∗ = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ( A 11 A 21 A 12 A 22 ) = ( a 11 A 11 + a 12 A 12 a 11 A 21 + a 12 A 22 a 21 A 11 + a 22 A 12 a 21 A 21 + a 22 A 22 ) = ( ∣ A ∣ 0 0 ∣ A ∣ ) = ∣ A ∣ ( 1 0 0 1 )
  AA∗=(a11a12a21a22)(A11A21A12A22)=(a11A11+a12A12a11A21+a12A22a21A11+a22A12a21A21+a22A22)=(|A|00|A|)=|A|(1001)" role="presentation" style="position: relative;">AA∗=(a11a21a12a22)(A11A12A21A22)=(a11A11+a12A12a21A11+a22A12a11A21+a12A22a21A21+a22A22)=(|A|00|A|)=|A|(1001)$$\begin{array}{rl}A{A}^{\ast }& =\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{21}\\ A_{12}& A_{22}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}& a_{11}{A}_{21}+a_{12}{A}_{22}\\ a_{21}{A}_{11}+a_{22}{A}_{12}& a_{21}{A}_{21}+a_{22}{A}_{22}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}|A|& 0\\ 0& |A|\end{array}\right)\\ & =|A|\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$
  AA∗​=(a11​a21​​a12​a22​​)(A11​A12​​A21​A22​​)=(a11​A11​+a12​A12​a21​A11​+a22​A12​​a11​A21​+a12​A22​a21​A21​+a22​A22​​)=(∣A∣0​0∣A∣​)=∣A∣(10​01​)​
  $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast },A^{\ast }=|A|A^{-1}$，其实是由上式移项出来的
• $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$
• $(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$
• $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
• $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$
• $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A$

可逆矩阵

对于$n$阶矩阵$A$，如果存在$n$阶矩阵$B$使
$$AB=BA=E$$
则称矩阵$A$是可逆的，称$B$是$A$的逆矩阵

结论：如果矩阵$A$是可逆的，那么$A$的逆矩阵是唯一的，记作$A^{-1}$
证明：设$B,C$都是$A$的逆矩阵，即
$$AB=BA=E,AC=CA=E$$
有
$$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$$
证毕

定理：$A$可逆$\iff |A|\ne 0$

推论：$A,B$是$n$阶矩阵，如$AB=E$，则$A^{-1}=B$
证明：
由$AB=E$
有
$$|A|\cdot |B|=|E|=1\ne 0$$
所以$A$可逆
$$BA=EBA=(A^{-1}A)BA=A^{-1}(AB)A=A^{-1}EA=E$$
所以$A^{-1}=B$

逆矩阵的性质

• 如果$A$可逆，则$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• 如果$A$可逆，且$k\ne 0$，则$kA$可逆，且$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
• 如果$A,B$均可逆，则$AB$也可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
  推广$ABC=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$
• 如果$A$可逆，则$A^T$也可逆，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

求逆矩阵方法

• 定义法：$AB=E$
• 用伴随（常用于二阶矩阵，三阶也行）：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
• 初等行变换：$(A|E)\stackrel{由上往下}{⟶}(上三角矩阵|矩阵)\stackrel{由下往上}{⟶}(对角矩阵|矩阵)\to (E|A^{-1})$
• 分块： ( A O O B ) − 1 = ( A − 1 O O B − 1 ) ( O A B O ) − 1 = ( O B − 1 A − 1 O )
  (AOOB)" role="presentation" style="position: relative;">(AOOB)$$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$$
  ^{-1}=
  (A−1OOB−1)" role="presentation" style="position: relative;">(A−1OOB−1)$$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$$
  \quad
  (OABO)" role="presentation" style="position: relative;">(OBAO)$$\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$$
  ^{-1}=
  (OB−1A−1O)" role="presentation" style="position: relative;">(OA−1B−1O)$$\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$$
  (AO​OB​)−1=(A−1O​OB−1​)(OB​AO​)−1=(OA−1​B−1O​)

例：设 A = ( 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ) A=

A=⎝ ⎛​123​224​313​⎠ ⎞​，求$A^{-1}$

( A ∣ E ) = ( 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 ) → ( 1 2 3 1 0 0 0 − 2 − 5 − 2 1 0 0 − 2 − 6 − 3 0 1 ) → ( 1 2 3 1 0 0 0 − 2 − 5 − 2 1 0 0 0 − 1 − 1 − 1 1 ) → ( 1 2 0 − 2 − 3 3 0 − 2 0 3 6 − 5 0 0 − 1 − 1 − 1 1 ) → ( 1 0 0 1 3 − 2 0 − 2 0 3 6 − 5 0 0 − 1 − 1 − 1 1 ) → ( 1 0 0 1 3 − 2 0 1 0 − 3 2 − 3 5 2 0 0 1 1 1 − 1 )

(A∣E)​=⎝ ⎛​123​224​313​100​010​001​⎠ ⎞​→⎝ ⎛​100​2−2−2​3−5−6​1−2−3​010​001​⎠ ⎞​→⎝ ⎛​100​2−20​3−5−1​1−2−1​01−1​001​⎠ ⎞​→⎝ ⎛​100​2−20​00−1​−23−1​−36−1​3−51​⎠ ⎞​→⎝ ⎛​100​0−20​00−1​13−1​36−1​−2−51​⎠ ⎞​→⎝ ⎛​100​010​001​1−23​1​3−31​−225​−1​⎠ ⎞​​

例：$A$是$n$阶方阵，满足$A^2-3A-2E=0$，表示$A^{-1},(A+E{)}^{-1}$

求谁的逆由谁出发，构造题中给出的等式，移项使得构造出的等式右端为$E$，此时左端应为谁乘一个矩阵，该矩阵记为所求
在构造矩阵的时候，先降次构造不全为$E$的部分，$E$用来补全等式

A ( A − 3 E ) − 2 E = 0  先构造带有 A 2 的部分，然后补全 A E ，最后补 E A ⋅ 1 2 ( A − 3 E ) = E

A(A−3E)−2EA⋅21​(A−3E)=E​=0 先构造带有A2的部分，然后补全AE，最后补E
显然$A^{-1}=\frac{1}{2}(A-3E)$
( A + E ) ( A − 4 E ) + 2 E = 0  依旧是先构造带有 A 2 的部分，然后补全 A E 注意此处构造出 ( A + E ) ( A ⋯   ) 时，式子乘开已经含有一个 A E 因此接下来构造 A E 需要 − 4 A E 即 − 4 E 最后整个乘开看和题中等式差几个 E ，补上 ( A + E ) ⋅ 1 2 ( 4 E − A ) = E

(A+E)(A−4E)+2E=0 依旧是先构造带有A2的部分，然后补全AE注意此处构造出(A+E)(A⋯)时，式子乘开已经含有一个AE因此接下来构造AE需要−4AE即−4E最后整个乘开看和题中等式差几个E，补上(A+E)⋅12(4E−A)=E" role="presentation" style="position: relative;">(A+E)(A−4E)+2E=0 依旧是先构造带有A2的部分，然后补全AE注意此处构造出(A+E)(A⋯)时，式子乘开已经含有一个AE因此接下来构造AE需要−4AE即−4E最后整个乘开看和题中等式差几个E，补上(A+E)⋅12(4E−A)=E$$\begin{array}{rl}(A+E)(A-4E)+2E& =0依旧是先构造带有A^2的部分，然后补全AE\\ & 注意此处构造出(A+E)(A\cdots )时，式子乘开已经含有一个AE\\ & 因此接下来构造AE需要-4AE即-4E\\ & 最后整个乘开看和题中等式差几个E，补上\\ & (A+E)\cdot \frac{1}{2}(4E-A)=E\end{array}$$

(A+E)(A−4E)+2E​=0 依旧是先构造带有A2的部分，然后补全AE注意此处构造出(A+E)(A⋯)时，式子乘开已经含有一个AE因此接下来构造AE需要−4AE即−4E最后整个乘开看和题中等式差几个E，补上(A+E)⋅21​(4E−A)=E​
显然$(A+E{)}^{-1}=\frac{1}{2}(4E-A)$

例：已知 A = ( 1 0 0 1 1 0 1 1 1 ) , B = ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) A=

,B= A=⎝ ⎛​111​011​001​⎠ ⎞​,B=⎝ ⎛​011​101​110​⎠ ⎞​，且$AXA+BXB=AXB+BXA+E$，则$X=()$

A X A + B X B − A X B − B X A = E A X ( A − B ) + B X ( B − A ) = E ( A − B ) X ( A − B ) = E X = ( A − B ) − 1 E ( A − B ) − 1 X = [ ( A − B ) − 1 ] 2 = [ ( 1 − 1 − 1 0 1 − 1 0 0 1 ) − 1 ] 2 = ( 1 1 2 0 1 1 0 0 1 ) 2 = ( 1 2 5 0 1 2 0 0 1 )

AXA+BXB−AXB−BXAAX(A−B)+BX(B−A)(A−B)X(A−B)XX​=E=E=E=(A−B)−1E(A−B)−1=[(A−B)−1]2=[⎝ ⎛​100​−110​−1−11​⎠ ⎞​−1]2=⎝ ⎛​100​110​211​⎠ ⎞​2=⎝ ⎛​100​210​521​⎠ ⎞​​

例：$A$是$n$阶矩阵，存在自然数$k$，使得$A^k=O$，证明$E-A$可逆并求其逆

思路同上面构造逆矩阵
注意构造的矩阵是为了构造不含$E$的部分

由$A^k=O$，有
$$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{k-1})-E=-A^k=O$$
即
( E − A ) ( E + A + A 2 + ⋯ + A k − 1 ) = E

(E−A)(E+A+A2+⋯+Ak−1)=E​
因此$E-A$可逆，显然$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2+\cdots +A^{k-1}$
​

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