数学建模（一）：插值

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题目：

实现代码：

Tips：

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题目：

实现代码：

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t0=data([1:2:end],:);%从第一行开始，每隔两行取一行数据（得到的是时间数据）
t0=t0';%对行向量求转置
t0=t0(:);%全部转成列向量
 
h0=data([2:2:end],:);%同理，取高度数据
h0=h0';
h0=h0(:);
 
H=17.4;
V=pi/4*H*H*h0;%计算各时刻的体积
 
dv = -1*gradient(V,t0);%对各个时刻进行求导，因为斜率是负的，所以这个地方的速度是负数，需要再乘一个-1转正数
n0 = find(h0 == -1);%找出空格数据
n1=[n0(1)-1:n0(2)+1,n0(3)-1:n0(4)+1];
t=t0;
t(n1)=[];
dv1=dv;
dv1(n1)=[];
%%
%这个地方取四个点行不通，因为边界点不连续，然后不连续的情况下求导误差巨大
n2=[n0(1),n0(2),n0(3),n0(4)];
t3=t0;
t3(n2)=[];
dv2=dv;
dv2(n2)=[];
%%
plot(t,dv1,'b*',t3,dv2,'ro');
plot(t,dv1,'b*')
plot(t3,dv2,'ro')
%%
pp=csape(t,dv1);%进行差值
tt=0:0.1:t(end);%给出差值点
fdv=ppval(pp,tt);
plot(tt,fdv,'r*');
I=trapz(tt(1:241),fdv(1:241))%计算24h内总流量的数值积分

Tips：

简单讲一下思路：

（1）首先把题目中的数据以矩阵的形式输入到matlab中，分别将时间和时刻这两组数据存进列向量中，对应下面这段代码：【当然，也可以直接自己手动把两组数据输入到列向量中】

t0=data([1:2:end],:);%从第一行开始，每隔两行取一行数据（得到的是时间数据）
t0=t0';%对行向量求转置
t0=t0(:);%全部转成列向量
 
h0=data([2:2:end],:);%同理，取高度数据
h0=h0';
h0=h0(:);

（2）然后，我们要对各个时刻的点进行求导，求导得到的是速度，然后要删掉四个空点（也就是题目中没有给数值的点），然后还要删掉四个分段的点，因为求导的前提条件就是连续，但是对于分段函数的边界点它不是连续的，题中根据速度散点图可知，可以把图分为三段，即有4个边界点，所以一共去除8个不可用点，代码如下所示：

dv = -1*gradient(V,t0);%对各个时刻进行求导，因为斜率是负的，所以这个地方的速度是负数，需要再乘一个-1转正数
n0 = find(h0 == -1);%找出空格数据
n1=[n0(1)-1:n0(2)+1,n0(3)-1:n0(4)+1];%删除8个不可用点
t=t0;
t(n1)=[];
dv1=dv;
dv1(n1)=[];

（3）最后对数据进行插值，利用csape函数得到三次样条插值的系数，它的结果是存在一个结构体里的，利用ppval函数利用caspe得到的系数计算出插值，并画出图像代码如下所示：

pp=csape(t,dv1);%进行差值
tt=0:0.1:t(end);%给出差值点
fdv=ppval(pp,tt);
plot(tt,fdv,'r*');

图：

（4）利用matlab中的trapz函数对离散的点进行求积分，代码如下所示：

I=trapz(tt(1:241),fdv(1:241))%计算24h内总流量的数值积分

MATLAB函数trapz(x, y, n), 其中y是x的积分, 使用梯形法则逼近函数y = f(x)的积分