• 动态规划 | 斐波那契数列、爬楼梯 | leecode刷题笔记


    跟随carl代码随想录刷题
    语言:python


    什么是动态规划

    动态规划(Dynamic Programming, DP)

    如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的

    动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的
    贪心是局部直接选最优的。

    动态规划的解题步骤

    1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
    2. ⭐️确定状态转移公式(递推公式)
    3. dp数组如何初始化
    4. 确定遍历顺序
    5. 举例推导dp数组

    AC不了的灵魂三问:

    • 举例推导状态转移公式了吗?
      • 做题目时一定要把状态转移在dp数组上的具体情况 模拟一遍,心中有数,确定最后退出的是想要的结果。
      • 然后再写代码。
    • 打印dp数组的日志了吗?
      • 如果代码没通过,就打印dp数组
    • 打印出来的dp数组和我想的一样吗?
      • 如果打印出来的和子集预先推导是一样的,那么就是递推公式初始化、或者遍历顺序有问题了。

    509. 简单斐波那契数

    题目:斐波那契数 (通常用 F(n) 表示)形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:
    F(0) = 0,F(1) = 1
    F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1
    给定 n ,请计算 F(n) 。
    👉示例 1:
    输入:n = 2
    输出:1
    解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
    👉示例 2:
    输入:n = 3
    输出:2
    解释:F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
    👉示例 3:
    输入:n = 4
    输出:3
    解释:F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

    题目分析

    动态规划五部曲

    1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
      • dp[i]定义为:第i个数的斐波那契数值为dp[i]
    2. ⭐️确定状态转移公式(递推公式)
      • 本题已经给我们啦:dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    3. dp数组如何初始化
      • 本题也告诉我们啦:dp[0] = 0dp[1] = 1
    4. 确定遍历顺序
      • 因为dp[i]依赖dp[i-1]dp[i-2],所以从前往后遍历
    5. 举例推导dp数组
      • 当n = 10时,dp数列应该为0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
      • 如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看是否正确

    完整代码如下

    class Solution:
        def fib(self, n: int) -> int:
            if n < 2:
                return n
            a, b, c = 0, 1, 0
            for i in range(1, n):
                c = a + b
                a, b = b, c
            return c
    
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    • 6
    • 7
    • 8
    • 9

    70. 简单爬楼梯

    题目:假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
    每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
    示例 1:
    输入:n = 2
    输出:2
    解释:有两种方法可以爬到楼顶。

    1. 1 阶 + 1 阶
    2. 2 阶
      示例 2:
      输入:n = 3
      输出:3
      解释:有三种方法可以爬到楼顶。
    3. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
    4. 1 阶 + 2 阶
    5. 2 阶 + 1 阶

    题目分析

    动态规划五部曲

    1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
      • dp[i] 表示 爬n 层楼梯共有dp[i]种方法
    2. ⭐️确定状态转移公式(递推公式)
      • dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    3. dp数组如何初始化
      • dp[1] = 1
      • dp[2] = 1
    4. 确定遍历顺序
      • 从前往后遍历
    5. 举例推导dp数组
      • dp[5] = 8
        • [1, 1, 1, 1, 1]
        • [1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1]
        • [1, 2, 2], [2, 1, 2], [2, 2, 1]

    经过推导发现,爬楼梯实质上就是斐波那契数列
    dp[0]其实就是一个无意义的存在,不用去初始化dp[0]。
    dp[0]其实就是一个无意义的存在,不用去初始化dp[0]。
    dp[0]其实就是一个无意义的存在,不用去初始化dp[0]。

    完整代码如下

    class Solution:
        def climbStairs(self, n: int) -> int:
            if n < 3:
                return n
    
            a, b, c = 1, 2, 0
            for i in range(2, n):
                c = a + b
                a, b = b, c
            return c
    
    • 1
    • 2
    • 3
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    • 7
    • 8
    • 9
    • 10

    另一种写法

    class Solution:
        def climbStairs(self, n: int) -> int:
            if n < 3:
                return n
    
            # 初始化
            dp = [0] * (n+1)  # 初始化dp数组
            dp[1] = 1
            dp[2] = 2
            for i in range(3, n+1):
                dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
            return dp[n]
    
    • 1
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    746. 简单使用最小花费爬楼梯

    题目:给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。
    你可以选择从下标为 0下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
    请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费
    示例 1:
    输入:cost = [10,15,20]
    输出:15
    解释:你将从下标为 1 的台阶开始。

    • 支付 15 ,向上爬两个台阶,到达楼梯顶部。
      总花费为 15 。
      示例 2:
      输入:cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
      输出:6
      解释:你将从下标为 0 的台阶开始。
    • 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 2 的台阶。
    • 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 4 的台阶。
    • 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 6 的台阶。
    • 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达下标为 7 的台阶。
    • 支付 1 ,向上爬两个台阶,到达下标为 9 的台阶。
    • 支付 1 ,向上爬一个台阶,到达楼梯顶部。
      总花费为 6 。

    题目分析

    动态规划五部曲

    1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
      • dp[i]定义为:到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]
    2. ⭐️确定状态转移公式(递推公式)
      • dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost(i) # 每爬上一个台阶都要花费相应的体力值
    3. dp数组如何初始化
      • dp[0] = cost[0]
      • dp[1] = cost[1]
    4. 确定遍历顺序
      • 从前往后遍历
    5. 举例推导dp数组
      • 当n = 10时,dp数列应该为0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
      • 如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看是否正确

    在这里插入图片描述

    完整代码如下

    class Solution:
        def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
            dp = [0] * (len(cost))
            dp[0] = cost[0]
            dp[1] = cost[1]
            
            for i in range(2, len(cost)):
                dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
            
    
            return min(dp[len(cost) - 1], dp[len(cost) - 2])
    
    • 1
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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/qq_44250700/article/details/126354137