• 二叉搜索树

    二叉搜索树

    一、概念

    二叉搜索树又叫做二叉排序树
    性质

    • 左子树的结点值都小于根
    • 右子树的结点值都大于根
    • 左右子树分别是二叉搜索树

    中序遍历是升序

    二、二叉搜索树的各种操作

    2.1 插入

    迭代插入

    思想：插入数据任然保持它是搜索二叉树
    为什么要有返回值呢？
    因为搜索二叉树要减少数据的冗余，遇到重复的数字是插入不了的
    在这里插入图片描述

    所以我们在插入过程中必须要记录一下上一个结点的位置，然后再迭代着往后走，不然我们是无法链接起来的。

    // 插入数据保持继续是二叉搜索树
bool Insert(const K& key)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		// 往右边走
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		// 往左边走
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		// _key==key
		else
		{
			return false;
		}
	}

	// 这里说明走到合适的空位置了，需要链接起来
	cur = new Node(key);
	if (key > parent->_key)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	return true;
}

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    递归插入

    bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
	{
		root = new Node(key);
		return true;
	}

	if (key > root->_key)
		return _InsertR(root->_right, key);
	else if (key < root->_key)
		return _InsertR(root->_left, key);
	else// 相等不允许插入
		return false;
}

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    这里的指针引用非常细节，这样就能保证链接起来，C语言中就要使用二级指针了。
    在这里插入图片描述

    2.2 查找

    迭代查找

    // 查找
bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	// 从根开始遍历
	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			cur=cur->_right
		}
		else if(key < cur->_key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else 
		{
			return true;
		}
		
	}
	return false;
}

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    递归查找

    Node* _FindR( Node* root,const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return nullptr;
	if (key > root->_key)
		return _FindR(root->_right, key);
	else if (key < root->_left)
		return _FindR(root->_left, key);
	else// 相等就是找到了，返回节点
		return root;
}

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    2.3 删除

    删除是重头戏，这是面试很爱考察的！

    实质是：排序+去重

    删除的节点分类(1,2可以归结为同一类)：
    1、叶子节点
    2、只有一个孩子的节点
    3、有两个孩子节点
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    1️⃣第一种和第二种都是直接删除，其实可以归类为同一种：
    被删除节点，左为空，让父亲指向被删除节点的右；右为空，让父亲执行被删除节点的左，但是也要注意特殊情况，被删除的节点是父亲的什么，此处需要特判断一下。
    但是当出现父亲节点为空时，就又会出问题，我们需要更新_root
    在这里插入图片描述
    2️⃣第三种替换法删除：找寻左子树的最大节点，或者右子树的最小节点进行替换删除
    在这里插入图片描述
    替换法的第一种情况：
    在这里插入图片描述
    替换法的第二种情况：
    在这里插入图片描述

    迭代删除

    // 删除
bool Erase(const K& key)
{
	//先找到我们要删除的那个节点和它的父亲节点
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;

	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			cur = cur->_right;
			parent = cur;
		}
		else if (key < cur->_left)
		{
			cur = cur->_left;
			parent = cur;
		}
		else
		{
			// 找到了 准备开始删除
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					// 需要特判一下，被删除节点是父亲的哪个节点
					if (cur == parent->_left)
						parent->_left = cur->_right;
					else
						parent->_right = cur->_right;
				}
				delete cur;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
						parent->_left = cur->_left;
					else
						parent->_right = cur->_left;
				}
				
				delete cur;
			}
			else
			{
				// 替换法删除
				Node* minParent = cur;
				Node* min = cur->_right;//右树的最小节点
				while (min->_left)
				{
					minParent = min;
					min = min->_left;
				}

				// 覆盖cur节点
				cur->_key = min->_key;
				//转换成删除替代节点min

				if (minParent->_left==min)
					minParent->_left = min->_right;
				else
					minParent->_right = min->_right;

				delete min;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

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    递归删除

    bool _EraseR(Node* &root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (key > root->_key)
		return _EraseR(root->_right, key);
	else if (key < root->_key)
		return _EraseR(root->_left, key);
	else// 开始删除
	{
		Node* del = root;// 记录一下要删除的节点
		if (root->_left == nullptr)
			root = root -> _right;
		else if (root->_right == nullptr)
			root = root->_left;
		else
		{
			//替代法删除
			//左右都不为空
			Node* min = root->_right;
			while (min->_left)
			{
				min = min->_left;

			}
			std::swap(min->_key, root->_key);
			// 递归到右子树去删除
			return _EraseR(root->_right, key);
		}
		delete del;
		return true;
	}
}

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    2.4 中序遍历

    public:
void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
}
// 中序遍历
void _InOrder(Node * root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_InOrder(root->_left);
	std::cout << root->_key << " ";
	_InOrder(root->_right);
}

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    三、二叉搜索树的应用

    1、K模型

    K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。

    比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

    • 以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
    • 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
    namespace K 
{
	template<class K>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K>* _left;
		BSTreeNode<K>* _right;
		K _key;
		BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
	};

	template<class K>
	struct BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K> Node;
	public:
		BSTree() :_root(nullptr) {}
		~BSTree() {}

		// 递归版本
		// 因为递归都需要根，但是我们在类外穿参数时，都拿不到根，所以要嵌套一个子函数
		bool InsertR(const K& key)
		{
			return _InsertR(_root, key);
		}

		Node* FindR(const K& key)
		{
			return _FindR(_root, key);
		}

		bool EraseR(const K& key)
		{
			return _EraseR(_root, key);
		}


		// 插入数据保持继续是二叉搜索树
		bool Insert(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				// 往右边走
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				// 往左边走
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				// _key==key
				else
				{
					return false;
				}
			}

			// 这里说明走到合适的空位置了，需要链接起来
			cur = new Node(key);
			if (key > parent->_key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
			return true;
		}

		// 查找
		bool Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			// 从根开始遍历
			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return true;
				}

			}
			return false;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			//先找到我们要删除的那个节点和它的父亲节点
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;

			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;

				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;

				}
				else
				{
					// 找到了 准备开始删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							// 需要特判一下，被删除节点是父亲的哪个节点
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}

						delete cur;
					}
					else
					{
						// 替换法删除
						Node* minParent = cur;
						Node* min = cur->_right;//右树的最小节点
						while (min->_left)
						{
							minParent = min;
							min = min->_left;
						}

						// 覆盖cur节点
						cur->_key = min->_key;
						//转换成删除替代节点min

						if (minParent->_left == min)
							minParent->_left = min->_right;
						else
							minParent->_right = min->_right;

						delete min;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			std::cout << std::endl;
		}
		// 中序遍历
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_InOrder(root->_left);
			std::cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _FindR(Node* root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
				return nullptr;
			if (key > root->_key)
				return _FindR(root->_right, key);
			else if (key < root->_left)
				return _FindR(root->_left, key);
			else// 相等就是找到了，返回节点
				return root;
		}
		bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr) {
				root = new Node(key);
				return true;
			}

			if (key > root->_key)
				return _InsertR(root->_right, key);
			else if (key < root->_key)
				return _InsertR(root->_left, key);
			else// 相等不允许插入
				return false;
		}
		bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
				return false;
			if (key > root->_key)
				return _EraseR(root->_right, key);
			else if (key < root->_key)
				return _EraseR(root->_left, key);
			else// 开始删除
			{
				Node* del = root;// 记录一下要删除的节点
				if (root->_left == nullptr)
					root = root->_right;
				else if (root->_right == nullptr)
					root = root->_left;
				else
				{
					//替代法删除
					//左右都不为空
					Node* min = root->_right;
					while (min->_left)
					{
						min = min->_left;

					}
					std::swap(min->_key, root->_key);
					// 递归到右子树去删除
					return _EraseR(root->_right, key);
				}
				delete del;
				return true;
			}
		}
	private:
		Node* _root;
	};

	void TestBSTree()
	{
		BSTree<int> t;
		int a[] = { 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 };
		for (auto e : a)
		{
			t.InsertR(e);
		}
		t.InOrder();
		t.EraseR(5);
		t.InOrder();
		t.EraseR(7);
		t.InOrder();
	}
}

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    2、KV模型

    KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是就构成一种键值对。

    比如：实现一个简单的英汉词典dict，可以通过英文找到与其对应的中文，具体实现方式如下：

    • <单词，中文含义>为键值对构造二叉搜索树，注意：二叉搜索树需要比较，键值对比较时只比较Key
    • 查询英文单词时，只需给出英文单词，就可快速找到与其对应的key
    namespace KV
{
	template<class K, class V>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K, V>* _left;
		BSTreeNode<K, V>* _right;
		K _key;
		V _value;
		BSTreeNode(const K& key, const V& value)
			:_left(nullptr),
			_right(nullptr),
			_key(key),
			_value(value)
		{}
	};

	template<class K, class V>
	struct BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K, V> Node;
	public:
		BSTree() :_root(nullptr) {}
		~BSTree() {}

		// 插入数据保持继续是二叉搜索树
		bool Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				// 往右边走
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				// 往左边走
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				// _key==key
				else
				{
					return false;
				}
			}

			// 这里说明走到合适的空位置了，需要链接起来
			cur = new Node(key, value);
			if (key > parent->_key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
			return true;
		}

		// 查找
		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			// 从根开始遍历
			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}

			}
			return nullptr;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			//先找到我们要删除的那个节点和它的父亲节点
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;

			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;

				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;

				}
				else
				{
					// 找到了 准备开始删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							// 需要特判一下，被删除节点是父亲的哪个节点
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}

						delete cur;
					}
					else
					{
						// 替换法删除
						Node* minParent = cur;
						Node* min = cur->_right;//右树的最小节点
						while (min->_left)
						{
							minParent = min;
							min = min->_left;
						}

						// 覆盖cur节点
						cur->_key = min->_key;
						cur->_value = min->_value;
						//转换成删除替代节点min

						if (minParent->_left == min)
							minParent->_left = min->_right;
						else
							minParent->_right = min->_right;

						delete min;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			std::cout << std::endl;
		}
		// 中序遍历
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->_right);
		}
private:
	Node* _root;
	};

//测试如下
	void TestBSTree_KV1()
	{
		// 字典模型KV
		BSTree<std::string, std::string> dict;
		dict.Insert("sort", "排序");
		dict.Insert("study", "学习");
		dict.Insert("C++", "C加加");
		
		dict.InOrder();

		std::string str;
		while (std::cin >> str)
		{
			
			BSTreeNode<std::string, std::string>* ret = dict.Find(str);
			if (ret)
			{
				std::cout << "对应的中文解释为: " << ret->_value << std::endl;
			}
			else
			{
				std::cout << "词库无此单词！！" << std::endl;
			}
		}
	}

	void TestBSTree_KV2()
	{
		//统计水果出现的次数
		string fruits[] = { "香蕉","香蕉","香蕉","香蕉","橘子","苹果","橘子","西瓜","橘子" ,"橘子" ,"橘子","苹果","苹果","苹果","苹果" };
		BSTree <string, int> countTree;

		for (auto& str : fruits)
		{
			//BSTreeNode* ret = countTree.Find(e);
			auto ret = countTree.Find(str);
			if (ret != nullptr)
			{
				ret->_value++;
			}
			else
			{
				countTree.Insert(str,1);
			}
		}
		countTree.InOrder();
	}
}

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    四、二叉树的性能分析

    插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
    对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
    但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
    在这里插入图片描述
    最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：log 2 _2 2​N
    最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为： N 2 \frac N2 2N​

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