参考资料

• 二次规划的若干算法研究
• 关于凸二次规划若干算法的研究
• 二次规划
• 不等式约束的优化问题

由于在面试中有被问及QP的原理，所以重点来总结一波QP的原理。

1. 二次规划形式

二次规划问题（Quadratic Programming，QP）是一种非线性规划问题，它的目标函数为二次函数，约束条件和线性规划问题的约束条件一样，都是线性等式或线性不等式，即

min ⁡ 1 2 x ⊤ G x + h ⊤ x s . t . a i ⊤ x ⩽ b i , i ∈ I = { 1 ⋯ m } . a i ⊤ x = b i , i ∈ ϵ = { m + 1 , … m + l } .  (1) \tag{1}

s.t.​min21​x⊤Gx+h⊤xai⊤​x⩽bi​,i∈I={1⋯m}.ai⊤​x=bi​,i∈ϵ={m+1,…m+l}. ​(1)

一般二次规划问题可以分成以下几类：

• 凸二次规划问题：G半正定，问题有全局解
• 严格凸二次规划问题：G正定，问题有唯一全局解
• 一般二次规划问题：G不定，问题有稳定点或局部解

二次规划应用广泛，常见的例如有：求最小二乘法，点到多面体的距离，模型预测控制的求解等。

下面我们分别介绍等式约束和不等式约束下的二次规划的求解。

2. 等式约束二次规划问题

等式约束的二次规划问题一般形式如下：

min ⁡ 1 2 x ⊤ G x + h ⊤ x s . t . A ⊤ x = b (2) \tag{2}

mins.t.​21​x⊤Gx+h⊤xA⊤x=b​(2)

其中
$$b\in R^m,A\in R^{n\times m},\mathrm{rank}(A)=m,n>m$$

2.1 变量消去法

1. 示例

变量消去法思路很简单，就是初中时候学过的消元法（当然，抽象之后还是挺高级的）。例如举个小栗子，假设要求解下面这个二次规划问题：

min ⁡ x 1 2 + x 2 2 + x 1 + x 2  s.t.  x 1 + x 2 = 1

min s.t. ​x12​+x22​+x1​+x2​x1​+x2​=1​
消除一个变量$x_2$，这样就可以很简单的求解出来:
$$\min {\mathrm{x}}_1^2+{\left(1-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+1-{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_1$$

当然我们还可以用拉格朗日法，推导出KKT条件（后面会讲）:
$$\min {\mathrm{x}}_1^2+{\mathrm{x}}_2^2+{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+\lambda \left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2-1\right)$$

2. 具体过程

应用变量消去法求解包括以下3个步骤：

1. 将$x$分成基本变量 $x_B$ 与非基本变量 $x_N$ 两部分，利用等式约束将基本变量用非基本变量表示出来；
2. 再将基本变量带入目标函数，从而消去基本变量，把问题化为一个关于非基本变量的无约束最优化问题；
3. 最后求解无约束最优化问题的方法解之

具体来说：

将 $A$ 分块，使其包含一个 $m\times m$ 非奇异矩阵 $A_B，x，h$ 做对应的分块
x = ( x B x N ) , A = ( A B A N ) , G = ( G B B G B N G N B G N N ) , h = ( h B h N ) (3) \tag{3} x=\left(

\right), A=\left(\right), G=\left(\right), h=\left(\right) x=(xB​xN​​),A=(AB​AN​​),G=(GBB​GNB​​GBN​GNN​​),h=(hB​hN​​)(3)

所以等式约束$A^{\top }x=b$就转化为：
( A B A N ) ⊤ ( x B x N ) = b (4) \tag{4} \left(

\right)^{\top} \left(\right) =b (AB​AN​​)⊤(xB​xN​​)=b(4)

将等式(4)写开得
A B x B + A N x N = b (5) \tag{5}

AB​xB​+AN​xN​=b​(5)
将基本变量用非基本变量表示出来
$$x_B=A_B^{-1}b-A_B^{-1}{A}_N{x}_N\text{\hspace{1em}(6)}$$

这样原变量就可以写成:
x = ( x B x N ) = ( A B − 1 b − A B − 1 A N x N x N ) = ( A B − 1 b 0 ) + ( − A B − 1 A N I ) x N = x 0 + Z x N (7) \tag{7}

x=(xB​xN​​)=(AB−1​b−AB−1​AN​xN​xN​​)=(AB−1​b0​)+(−AB−1​AN​I​)xN​=x0​+ZxN​​(7)
即写成了一个类似于 $x=x_0+Z{x}_N$ 的形式，这样我们将其代入目标函数，消去基本变量，把问题化为一个关于非基本变量的无约束最优化问题，最后求解无约束最优化问题的方法就能解出答案。

我们将$x=x_0+Z{x}_N$ 带入到目标函数中得：
min ⁡ f ( x ) = 1 2 x T G x + h T x = 1 2 ( x 0 + Z x N ) T G ( x 0 + Z x N ) + h T ( x 0 + Z x N ) (8) \tag{8}

minf(x)​=21​xTGx+hTx=21​(x0​+ZxN​)TG(x0​+ZxN​)+hT(x0​+ZxN​)​(8)

除了$x_N$，其他都是已知的常数项 ，由于常数项不影响优化结果，所以优化过程中省略常数项，得如下形式:
min ⁡ f ( x ) = 1 2 x N T ( Z T G Z ) x N + h T Z x N (9) \tag{9}

minf(x)=21​xNT​(ZTGZ)xN​+hTZxN​​(9)
对其求导等于零:
$$\left(Z^{T}GZ\right)x_N+h^{T}Z=0\text{\hspace{1em}(10)}$$
如果想要其有唯一最优解，也就必须要满足 $Z^{T}GZ$ 为正定。

2.2 Lagrange法

等式约束二次规划的Lagrange函数为
$$L(x,\lambda )=\frac{1}{2}{x}^{T}Gx+h^{T}x+\lambda \left(A^{T}x-b\right)\text{\hspace{1em}(11)}$$
其中$\lambda$称为Lagrange乘数，正负皆有可能。Lagrange乘数法将原本的约束优化问题转换成等价的无约束优化问题
$$\underset{x,\lambda }{\min }L(x,\lambda )\text{\hspace{1em}(12)}$$
计算 $L$ 对 $x$ 与 $\lambda$ 的偏导数并设为零，可得最优解的必要条件:

{ ∂ L ∂ x = G x + h + λ A = 0 ——定常方程式 ∂ L ∂ λ = A T x − b = 0 ——约束条件 (13) \tag{13} \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​∂x∂L​=Gx+h+λA=0——定常方程式∂λ∂L​=ATx−b=0——约束条件​(13)
表示为方程组:
[ G A A T 0 ] [ x λ ] = [ − h b ] (14) \tag{14} \left[

GAAT0" role="presentation" style="position: relative;">GATA0$$\begin{array}{cc}G& A\\ A^T& 0\end{array}$$

\right]\left[

xλ" role="presentation" style="position: relative;">xλ$$\begin{array}{l}x\\ \lambda \end{array}$$

\right]=\left[

−hb" role="presentation" style="position: relative;">−hb$$\begin{array}{r}-h\\ b\end{array}$$

\right] [GAT​A0​][xλ​]=[−hb​](14)

这样将这个方程组求解之后就可以求得最优解。

2.3 变量消去 vs Lagrange法

根据等式(10)和(14)的维度关系，变量消去法其实是转化成了一个 $n-m$维的问题，也就是说求解$n-m$个方程组就能解决这个问题。而 Lagrange法是将其转化成一个 $n+m$维的问题，即 $n$个变量， $m$个乘子。

如果建模建出来的问题就只需要求解一次等式二次规划问题，那么哪一个其实都可以求解，如果维数太大，建议用变量消去法。

变量消去法很直观，使用非基变量表示基变量，但是由于需要计算$A_B$的逆，当$A_B$接近奇异时会导致误差很大.

3. 不等式约束二次规划问题

本节主要来自参考资料4.

3.1 Lagrange乘数法与KKT条件

1. 只有不等式约束的一般形式

先考虑只有不等式约束的一般形式：
min ⁡ f ( x )  s.t.  g ( x ) ≤ 0.

min s.t. ​f(x)g(x)≤0.​
约束不等式 $g(\mathbf{x})\le 0$ 称为原始可行性(primal feasibility)，据此我们定义可行域(feasible region)

K = { x ∈ R n ∣ g ( x ) ≤ 0 } K=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid g(\mathbf{x}) \leq 0\} K={x∈Rn∣g(x)≤0}

假设 ${\mathbf{x}}^{\star }$ 为满足约束条件的最佳解，分开两种情况讨论：

• $g\left({\mathbf{x}}^{\star }\right)<0$ ，最佳解位于 $K$ 的内部，称为内部解(interior solution)，这时约束条件是无效的 (inactive);
• $g\left({\mathbf{x}}^{\star }\right)=0$ ，最佳解落在 $K$ 的边界，称为边界解(boundary solution)，此时约束条件是有 效的(active)。

这两种情况的最佳解具有不同的必要条件。

• 内部解: 在约束条件无效的情形下， $g(\mathbf{x})$ 不起作用，约束优化问题退化为无约束优化问题， 因此驻点 ${\mathbf{x}}^{\star }$ 满足 $\nabla f=0$ 且 $\lambda =0$ 。
• 边界解：在约束条件有效的情形下，约束不等式变成等式 $g(\mathbf{x})=0$ ，这与前述Lagrange乘数法的情况相同。 我们可以证明驻点 ${\mathbf{x}}^{\star }$ 发生于 $\nabla f\in \mathrm{span}\nabla g$ （span是生成子空间），换句话说，存在 $\lambda$ 使得 $\nabla f=-\lambda \nabla g$ ，但这里 $\lambda$ 的正负号是有其意义的。因为我们希望最小化 $f$ ，梯度 $\nabla f$ (函数 $f$ 在点 $\mathbf{x}$ 的最陡上升方向)应该指向可行域 $K$ 的内部(因为你的最优解最小值是在边界取得的)，但 $\nabla g$ 指向 $K$ 的外部(即 $g(\mathbf{x})>0$ 的区域，因为你的约束是小于等于 0 ），因此 $\lambda \ge 0$，称为对偶可行性(dual feasibility)。

因此，不论是内部解或边界解， $\lambda g(\mathbf{x})=0$ 恒成立，称为互补松弛性(complementary slackness)。整合上述两种情况，最佳解的必要条件包括Lagrangian函数 $L(\mathbf{x},\lambda )$ 的定常方程式、原始可行性、对偶可行性，以及互补松弛性：
{ ∇ x L = ∇ f + λ ∇ g = 0 g ( x ) ≤ 0 λ ≥ 0 λ g ( x ) = 0. \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​∇x​Lg(x)λλg(x)​=∇f+λ∇g=0≤0≥0=0.​​
这些条件合称为Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件。如果我们要最大化 $f(\mathbf{x})$ 且受限于 $g(\mathbf{x})\le 0$ ，那么对偶可行性要改成 $\lambda \le 0$ 。

2. 标准约束优化

考虑标准约束优化问题(或称非线性规划)：
min ⁡ f ( x )  s.t.  g j ( x ) = 0 , j = 1 , … , m , h k ( x ) ≤ 0 , k = 1 , … , p .

min s.t. ​f(x)gj​(x)=0,j=1,…,m,hk​(x)≤0,k=1,…,p.​
定义Lagrangian 函数
L ( x , { λ j } , { μ k } ) = f ( x ) + ∑ j = 1 m λ j g j ( x ) + ∑ k = 1 p μ k h k ( x ) L\left(\mathbf{x},\left\{\lambda_{j}\right\},\left\{\mu_{k}\right\}\right)=f(\mathbf{x})+\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} g_{j}(\mathbf{x})+\sum_{k=1}^{p} \mu_{k} h_{k}(\mathbf{x}) L(x,{λj​},{μk​})=f(x)+j=1∑m​λj​gj​(x)+k=1∑p​μk​hk​(x)
其中 ${\lambda }_j$ 是对应 $g_j(\mathbf{x})=0$ 的Lagrange乘数， ${\mu }_k$ 是对应 $h_k(\mathbf{x})\le 0$ 的Lagrange乘数(或称 KKT乘数)。KKT条件包括定常方程式、原始可行性、对偶可行性，以及互补松弛性，如下所示：
{ ∇ x L = 0 g j ( x ) = 0 , j = 1 , … , m , h k ( x ) ≤ 0 , μ k ≥ 0 , μ k h k ( x ) = 0 , k = 1 , … , p . \left\{

∇xL=0gj(x)=0,j=1,…,m,hk(x)≤0,μk≥0,μkhk(x)=0,k=1,…,p." role="presentation" style="position: relative;">∇xLgj(x)hk(x)μkμkhk(x)=0=0,j=1,…,m,≤0,≥0,=0,k=1,…,p.$$\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{x}}L& =\mathbf{0}\\ g_j(\mathbf{x})& =0,j=1,\dots ,m,\\ h_k(\mathbf{x})& \le 0,\\ {\mu }_k& \ge 0,\\ {\mu }_k{h}_k(\mathbf{x})& =0,k=1,\dots ,p.\end{array}\end{array}$$

\right. ⎩ ⎨ ⎧​∇x​Lgj​(x)hk​(x)μk​μk​hk​(x)​=0=0,j=1,…,m,≤0,≥0,=0,k=1,…,p.​​

3. 示例

考虑这个问题
{ min ⁡ x 1 2 + x 2 2  s.t.  x 1 + x 2 = 1 x 2 ≤ α \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​min s.t. ​x12​+x22​x1​+x2​=1x2​≤α​
其中 $\left(x_1,x_2\right)\in {\mathbb{R}}^2,\alpha$ 为实数。写出Lagrangigan函数
$$L\left(x_1,x_2,\lambda ,\mu \right)=x_1^2+x_2^2+\lambda \left(1-x_1-x_2\right)+\mu \left(x_2-\alpha \right)$$
KKT 方程组如下:
{ ∂ L ∂ x i = 0 , i = 1 , 2 x 1 + x 2 = 1 x 2 − α ≤ 0 μ ≥ 0 μ ( x 2 − α ) = 0 \left\{

∂L∂xi=0,i=1,2x1+x2=1x2−α≤0μ≥0μ(x2−α)=0" role="presentation" style="position: relative;">∂L∂xix1+x2x2−αμμ(x2−α)=0,i=1,2=1≤0≥0=0$$\begin{array}{l}\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{x}_i}& =0,i=1,2\\ x_1+x_2& =1\\ x_2-\alpha & \le 0\\ \mu & \ge 0\\ \mu \left(x_2-\alpha \right)& =0\end{array}\end{array}$$

\right. ⎩ ⎨ ⎧​∂xi​∂L​x1​+x2​x2​−αμμ(x2​−α)​=0,i=1,2=1≤0≥0=0​​
求偏导可得
{ ∂ L ∂ x 1 = 2 x 1 − λ = 0 ∂ L ∂ x 2 = 2 x 2 − λ + μ = 0 \left\{

∂L∂x1=2x1−λ=0∂L∂x2=2x2−λ+μ=0" role="presentation" style="position: relative;">∂L∂x1∂L∂x2=2x1−λ=0=2x2−λ+μ=0$$\begin{array}{l}\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{x}_1}& =2x_1-\lambda =0\\ \frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{x}_2}& =2x_2-\lambda +\mu =0\end{array}\end{array}$$

\right. ⎩ ⎨ ⎧​∂x1​∂L​∂x2​∂L​​=2x1​−λ=0=2x2​−λ+μ=0​​

分别解出
{ x 1 = λ 2 x 2 = λ 2 − μ 2 \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​x1​x2​​=2λ​=2λ​−2μ​​​
代入约束等式
$$x_1+x_2=\lambda -\frac{\mu }{2}=1$$

合并上面结果，
{ x 1 = μ 4 + 1 2 x 2 = − μ 4 + 1 2 \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​x1​x2​​=4μ​+21​=−4μ​+21​​​

最后再加入约束不等式

$$-\frac{\mu }{4}+\frac{1}{2}\le \alpha$$
即 $$\mu \ge 2-4\alpha$$

底下分开三种情况讨论。

1. $\alpha >\frac{1}{2}$ : 不难验证 $\mu =0>2-4\alpha$ 满足所有的KKT条件，约束不等式是无效的， $x_1^{\star }=x_2^{\star }=\frac{1}{2}$ 是内部解，目标函数的极小值是 $\frac{1}{2}$ 。
2. $\alpha =\frac{1}{2}$ : 如同 1 ， $\mu =0=2-4\alpha$ 满足所有的KKT条件， $x_1^{\star }=x_2^{\star }=\frac{1}{2}$ 是边界解，因为 $x_2^{\star }=\alpha$ 。
3. $\alpha <\frac{1}{2}$ : 这时约束不等式是有效的， $\mu =2-4\alpha >0$ ，则 $x_1^{\star }=1-\alpha$ 且 $x_2^{\star }=\alpha$ ，目 标函数的极小值是 $(1-\alpha {)}^2+{\alpha }^2$ 。

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分割线，下面待更新

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3.2 内点法

内点法引入障碍函数将约束条件转化为目标函数，生成等价于原模型的优化问题。

3.3 积极集法