BFS 之Flood Fill 算法(二)

在上一篇文章BFS 之Flood Fill 算法_Dream.Luffy的博客-CSDN博客中，

 

我们了解到Flood Fill算法的用途，以及如何使用，并给出了例题讲解,而本文是针对Flood Fill算法的习题练习篇。

例一：

城堡问题（来自于信息学奥赛一本通）

    1   2   3   4   5   6   7  
   #############################
 1 #   |   #   |   #   |   |   #
   #####---#####---#---#####---#
 2 #   #   |   #   #   #   #   #
   #---#####---#####---#####---#
 3 #   |   |   #   #   #   #   #
   #---#########---#####---#---#
 4 #   #   |   |   |   |   #   #
   #############################
           (图 1)
   #  = Wall   
   |  = No wall
   -  = No wall
   方向：上北下南左西右东。

图1是一个城堡的地形图。

请你编写一个程序，计算城堡一共有多少房间，最大的房间有多大。

城堡被分割成 m∗n个方格区域，每个方格区域可以有0~4面墙。

注意：墙体厚度忽略不计。

输入格式

第一行包含两个整数 m 和 n，分别表示城堡南北方向的长度和东西方向的长度。

接下来 m 行，每行包含 n 个整数，每个整数都表示平面图对应位置的方块的墙的特征。

每个方块中墙的特征由数字 P 来描述，我们用1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙，P 为该方块包含墙的数字之和。

例如，如果一个方块的 P 为3，则 3 = 1 + 2，该方块包含西墙和北墙。

城堡的内墙被计算两次，方块(1,1)的南墙同时也是方块(2,1)的北墙。

输入的数据保证城堡至少有两个房间。

输出格式

共两行，第一行输出房间总数，第二行输出最大房间的面积（方块数）。

数据范围

1≤m,n≤50,
0≤P≤15

输入样例：

4 7 
11 6 11 6 3 10 6 
7 9 6 13 5 15 5 
1 10 12 7 13 7 5 
13 11 10 8 10 12 13 

输出样例：

5
9

 算法分析:

首先，由题意可以得出该题考查的是连通性问题，故我们可以想到用Flood Fill算法来解决

本题是一个四连通问题(上下左右)

思考本题与上题的不同点

①：地图的读入方式不同

②：需要输出的结果不同

针对问题一：由于1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙，我们可以利用二进制数来表示一个格子在哪些地方有墙，哪些地方没墙

例如11的二进制表示: 1011  , 15的二进制表示: 1111 ,即四面都有墙   故我们可以利用二进制1的位置来判断每一面墙的位置(二进制的用法在这篇文章中有讲:状态压缩DP 图文详解（一）_Dream.Luffy的博客-CSDN博客

针对问题二：由于本题要求最大的房间数，我们可以维护一个变量，每次让BFS返回每个房间的大小，更新这个变量即可

上代码：

//利用二进制判断是否存在墙
//在t.x, t.y 加上偏移量后 利用二进制进行判断对应位置是否存在墙，即是否能通过
#include
#include
#include
 
#define x first 
#define y second
 
using namespace std;
 
typedef pair<int,int> PII;
 
const int N = 55, M = N * N;
 
int n, m;
int g[N][N];
PII q[M];
bool st[N][N];
 
int bfs(int sx, int sy)
{
    int dx[4] = {0 , -1, 0, 1}, dy[4] = {-1, 0, 1, 0}; //定义左右上下偏移量
 
    int hh = 0, tt = 0;
    int area = 0;
 
    q[0] = {sx, sy};
    st[sx][sy] = true;
 
    while(hh <= tt)
    {
        PII t = q[hh ++];
        area ++; //房间面积++
 
        for(int i = 0;i < 4;i ++)
        {
            int a = t.x + dx[i], b = t.y + dy[i];
            if(a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
            if(st[a][b]) continue;
            if(g[t.x][t.y] >> i & 1) continue; //(t.x, t.y) 和(a, b)之间有墙则不连通
 
            q[++ tt] = {a, b};
            st[a][b] = true;
        }
    }
 
    return area;
}
int main()
{
    cin >>n >> m;
    for(int i = 0;i < n;i ++)
        for(int j = 0;j < m;j ++)
            cin >> g[i][j];
 
    int cnt = 0, area = 0;
    for(int i = 0;i < n;i ++ )
        for(int j = 0;j < m;j ++ )
            if(!st[i][j])
            {
                area = max(area, bfs(i, j));
                cnt ++;
            }
 
    cout << cnt << endl;
    cout << area << endl;
}

这里涉及一个位运算， >> 表示右移(即除以二)， 例如二进制数1001 >> 1  得到100, 11 >> 1 = 1;

位运算&:

只有两个数的同一位二进制都为1时才为1， 例如 100 & 101  = 101  , 111 & 001 = 1;

所以我们常用1 与一个数字相& ，来判断这个数字的最后一个二进制数是否为1。

 例题二:

 山峰和山谷(来自于信息学奥赛一本通)

FGD小朋友特别喜欢爬山，在爬山的时候他就在研究山峰和山谷。

为了能够对旅程有一个安排，他想知道山峰和山谷的数量。

给定一个地图，为FGD想要旅行的区域，地图被分为 n×n 的网格，每个格子 (i,j) 的高度 w(i,j) 是给定的。

若两个格子有公共顶点，那么它们就是相邻的格子，如与 (i,j) 相邻的格子有(i−1,j−1),(i−1,j),(i−1,j+1),(i,j−1),(i,j+1),(i+1,j−1),(i+1,j),(i+1,j+1)。

我们定义一个格子的集合 S 为山峰（山谷）当且仅当：

1. S 的所有格子都有相同的高度。
2. S 的所有格子都连通。
3. 对于 s 属于 S，与 s 相邻的 s′ 不属于 S，都有 ws>ws′山峰），或者 ws
4. 如果周围不存在相邻区域，则同时将其视为山峰和山谷。

你的任务是，对于给定的地图，求出山峰和山谷的数量，如果所有格子都有相同的高度，那么整个地图即是山峰，又是山谷。

输入格式

第一行包含一个正整数 n，表示地图的大小。

接下来一个 n×n 的矩阵，表示地图上每个格子的高度 w。

输出格式

共一行，包含两个整数，表示山峰和山谷的数量。

数据范围

1≤n≤1000,
0≤w≤10^9

输入样例1：

5
8 8 8 7 7
7 7 8 8 7
7 7 7 7 7
7 8 8 7 8
7 8 8 8 8

输出样例1：

2 1

输入样例2：

5
5 7 8 3 1
5 5 7 6 6
6 6 6 2 8
5 7 2 5 8
7 1 0 1 7

输出样例2：

3 3

样例解释

样例1：

样例2：

算法分析: 

由题意知，本题是一个八连通问题, 八连通问题在上一文中讲过,这里就不再赘述

我们可以发现山峰，即山脉周围没有比它高的边界。

山谷即 山脉周围。

所以我们只需要在BFS过程中判断，  是否存在比山脉高或低的边界。

代码如下:

#include
#include
#include
#define x first
#define y second
 
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 1010;
 
PII q[N * N];
int g[N][N];
bool st[N][N];
int n;
 
void bfs(int sx,int sy, bool &has_higher, bool &has_lower)
{
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = {sx, sy};
    st[sx][sy] = true;
    
    while(hh <= tt)
    {
        PII t = q[hh ++ ];
        for(int i = t.x - 1; i <= t.x + 1;i ++)
            for(int j = t.y - 1;j <= t.y + 1;j ++) //八连通的遍历方式
                {
                    if(i == t.x && j == t.y) continue; //除去自己
                    if(i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= n) continue;
                    if(g[t.x][t.y] != g[i][j]) //山脉的边界如果不等于山
                    {
                       if(g[i][j] > g[t.x][t.y]) has_higher = true;
                        else has_lower = true;
 
                    }
                    else if(!st[i][j]) //如果一样高，则加入队列继续遍历
                    {
                        q[++ tt] = {i, j};
                        st[i][j] = true;
    
                    }
                }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;i ++)
        for(int j = 0;j < n;j ++)
            cin >> g[i][j];
            
    int peak = 0, valley = 0;
    for(int i = 0;i < n;i ++)
        for(int j = 0;j < n;j ++)
            if(!st[i][j])
            {
                bool has_higher = false,  has_lower = false;
                bfs(i, j, has_higher, has_lower);
                if(!has_higher) peak ++;  //边界没有比山脉高的则为山峰
                if(!has_lower) valley ++ ; //同理
            }
    cout << peak << " " << valley;
    return 0;
}

该系列会持续更新, 我是Luffy，期待与你再次相遇