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数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）
前言
图的常用存储结构有邻接矩阵和邻接表，另外还有十字链表、邻接多重表等等。
一、邻接矩阵
图的邻接矩阵存储结构用于表示顶点之间的相邻关系，其中通过一个一维数组存储顶点，一个二维数组存储顶点之间的相邻关系，一个顶点数为n的图的邻接矩阵是n×n（n行n列），即一个方阵，用邻接矩阵方法来表示一个图需要n2个存储空间，它
只与图中的顶点数有关，其空间复杂度为O(n2)。（一）图的邻接矩阵表示
设图G=(V，E)，若顶点是E(G)中的边，则用1标记，记为A[i][j]=
1；若顶点不是E(G)中的边，则用0标记，记为A[i][j]=0。- ✨通过邻接矩阵存储图时，其邻接矩阵是唯一的。
例如，下面是一个无向图：
该无向图的邻接矩阵为：
- ✨对于一个无向图，其邻接矩阵的主对角线一定为零，另外无向完全图中，其邻接矩阵的主对角线为0，其余元素都为1，其任意两个顶点之间都有边连接。
例如，下面是一个无向完全图：
其邻接矩阵表示如下：
下面是一个有向图：
其邻接矩阵表示如下：
（二）图的邻接矩阵性质
- ✨由于邻接矩阵是方阵，所以图的顶点数等于邻接矩阵的行或列的数目。
例如以下是一个图的邻接矩阵，由于该邻接矩阵是4×4，即该图的顶点数为4。
- ✨对于一个含有n个顶点，e条边的无向图，其邻接矩阵中元素为零的个数为n2-2e。
例如，如下这个邻接矩阵，若它是无向图，求其共有多少条边。
可知该邻接矩阵是3×3，即该图的顶点数为3，n=3，又由于是无向图，其邻接矩阵中元素为零的个数为5，由n2-2e，即5=9-2e，解得e=2，故无向图中共有2条边。
- ✨无向图的邻接矩阵一定是
对称矩阵，关于对角线对称，且主对角线一定为零（只针对简单图），而有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵；另外，0若一个图的邻接矩阵是对称的，则它可以是无向图或有向图。
由于无向图的邻接矩阵存在对称关系，其上三角和下三角的相同的，所以当在存储邻接矩阵时，除了对角线都为0以外，其实只需要存储上三角或下三角的数据，故只需要
n(n-1)/2个存储空间。只存储上三角或下三角的数据，即1+2+3+……+(n-1)=n(n-1)/2。
- ✨对于无向图，顶点vi的度为其邻接矩阵中
第i行（或第i列）的非零元素的个数；而有向图中，对于顶点i，邻接矩阵中第i行非零元素的个数和第i列非零元素的个数对应该顶点的出度OD(vi)和入度ID(vi)，又由于有向图中度等于出度和入度之和，即顶点vi的度为其邻接矩阵中第i行和第i列的非零元素的个数之和。
若对于带权的图，即网，在有关度的运算时，只需将非零元素的个数替换成非∞元素的个数即可，例如对于无向图中，顶点vi的度为其邻接矩阵中第i行（或第i列）的非∞元素的个数。
例、设图的邻接矩阵A如下所示，求各顶点的度依次是_______。
首先，可知该邻接矩阵不对称，所以图为有向图，有向图的度为入度和出度之和，
所以各顶点的度为邻接矩阵中每行和每列之和，出度对应行，入度对应列，
即，V1=1+1+1=3，V2=1+1+1+1=4，V3=1+1=2，V4=1+1+1=3
即3，4，2，3。- ✨若邻接矩阵为对称矩阵，当图为有向图时，图的弧的数目等于邻接矩阵中非零元素的个数；当为无向图，则图的边数等于邻接矩阵中非零元素的一半。
（三）网的邻接矩阵表示
- 带权的图称为网，设图G=(V，E)，若顶点vi与顶点vj之间有边，则记为A[i][j]=Wij，即对应邻接矩阵对应项中
存放边的权值；若顶点vi与顶点vj不相连，两个顶点间不存在边，则用∞标记，记为A[i][j]=∞，这里的∞是一个大于所有边的权值。
例如，下面是一个无向网，带有权值：
其邻接矩阵表示如下：
例如，下面是一个有向网，带有权值：
其邻接矩阵表示如下：
邻接矩阵存储图代码
以下代码可用于求有向图或无向图的邻接矩阵，只需修改其中一句代码（详细见图的邻接矩阵建立）。
（一）图的邻接矩阵定义
可自行定义MAXSIZE，即顶点数目的最大值，顶点的数据类型为char类型，边的数据类型为int类型，如下代码：
#define MAXSIZE 100 typedef struct { int n,e; //图的顶点数目、图的边数目 char V[MAXSIZE]; //一维数组，存储顶点 int E[MAXSIZE][MAXSIZE]; //二维数组，边的邻接矩阵 } Graph;- 1
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（二）初始化邻接矩阵
初始化邻接矩阵，将邻接矩阵中的所有元素都置为0，通过for循环嵌套完成，如下代码：
/*初始化邻接矩阵*/ void InitGraph(Graph *G) { int i,j; for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) G->E[i][j]=0; }- 1
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（三）图的邻接矩阵建立
针对无向图和有向图，由于无向图中边连接边的两个顶点与有向图中不同，所以只需对if条件语句进行修改。
对于无向图时：for(k=0; k<G->e; k++) { scanf("%c",&X); printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1); scanf("%c,%c",&ch1,&ch2); for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) { G->E[i][j]=1; G->E[j][i]=1; /*对于有向图，可以去掉这行代码，而无向图需加上*/ } }- 1
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对于有向图时，加上G->E[j][i]=1：
for(k=0; k<G->e; k++) { scanf("%c",&X); printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1); scanf("%c,%c",&ch1,&ch2); for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) G->E[i][j]=1; }- 1
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完整代码如下：
/*图的邻接矩阵建立*/ void CreateGraph(Graph *G) { int i,j,k; char ch1,ch2,X; printf("请输入图的顶点数目："); scanf("%d",&G->n); printf("请输入图的边的数目："); scanf("%d",&G->e); printf("请输入各顶点的信息：\n"); for(i=0; i<G->n; i++) { scanf("%c",&X); printf("输入第%d个顶点：",i+1); scanf("%c",&(G->V[i])); } for(k=0; k<G->e; k++) { scanf("%c",&X); printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1); scanf("%c,%c",&ch1,&ch2); for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) { G->E[i][j]=1; G->E[j][i]=1; /*对于有向图，可以去掉这行代码，而无向图需加上*/ } } }- 1
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（四）输出邻接矩阵
/*输出邻接矩阵*/ void PrintGraph(Graph G) { int i,j; for(i=0; i<G.n; i++) { for(j=0; j<G.n; j++) printf("%d ",G.E[i][j]); printf("\n"); } }- 1
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例如，下面是个无向完全图，求其邻接矩阵。
可知该图有4个顶点，6条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D。
代码如下：#include#define MAXSIZE 100 typedef struct { int n,e; //图的顶点、图的边 char V[MAXSIZE]; //一维数组，存储顶点 int E[MAXSIZE][MAXSIZE]; //二维数组，存储顶点之间关系 } Graph; /*初始化邻接矩阵*/ void InitGraph(Graph *G) { int i,j; for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) G->E[i][j]=0; } /*图的邻接矩阵建立*/ void CreateGraph(Graph *G) { int i,j,k; char ch1,ch2,X; printf("请输入图的顶点数目："); scanf("%d",&G->n); printf("请输入图的边的数目："); scanf("%d",&G->e); printf("请输入各顶点的信息：\n"); for(i=0; i<G->n; i++) { scanf("%c",&X); printf("输入第%d个顶点：",i+1); scanf("%c",&(G->V[i])); } for(k=0; k<G->e; k++) { scanf("%c",&X); printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1); scanf("%c,%c",&ch1,&ch2); for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) { G->E[i][j]=1; G->E[j][i]=1; } } } /*输出邻接矩阵*/ void PrintGraph(Graph G) { int i,j; for(i=0; i<G.n; i++) { for(j=0; j<G.n; j++) printf("%d ",G.E[i][j]); printf("\n"); } } /*主函数*/ int main() { Graph G; InitGraph(&G); //初始化邻接矩阵 CreateGraph(&G); //建立邻接矩阵 printf("图的邻接矩阵为：\n"); PrintGraph(G); //输出邻接矩阵 } - 1
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例如，下面是个有向图，求其邻接矩阵。
可知该图有4个顶点，5条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为B,A、B,C、B,D、C,A、D,C。
代码如下：#include#define MAXSIZE 100 typedef struct { int n,e; //图的顶点、图的边 char V[MAXSIZE]; //一维数组，存储顶点 int E[MAXSIZE][MAXSIZE]; //二维数组，存储顶点之间关系 } Graph; /*初始化邻接矩阵*/ void InitGraph(Graph *G) { int i,j; for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) G->E[i][j]=0; } /*图的邻接矩阵建立*/ void CreateGraph(Graph *G) { int i,j,k; char ch1,ch2,X; printf("请输入图的顶点数目："); scanf("%d",&G->n); printf("请输入图的边的数目："); scanf("%d",&G->e); printf("请输入各顶点的信息：\n"); for(i=0; i<G->n; i++) { scanf("%c",&X); printf("输入第%d个顶点：",i+1); scanf("%c",&(G->V[i])); } for(k=0; k<G->e; k++) { scanf("%c",&X); printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1); scanf("%c,%c",&ch1,&ch2); for(i=0; i<G->n; i++) for(j=0; j<G->n; j++) if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) { G->E[i][j]=1; //G->E[j][i]=1; } } } /*输出邻接矩阵*/ void PrintGraph(Graph G) { int i,j; for(i=0; i<G.n; i++) { for(j=0; j<G.n; j++) printf("%d ",G.E[i][j]); printf("\n"); } } /*主函数*/ int main() { Graph G; InitGraph(&G); //初始化邻接矩阵 CreateGraph(&G); //建立邻接矩阵 printf("图的邻接矩阵为：\n"); PrintGraph(G); //输出邻接矩阵 } - 1
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二、邻接表
（一）邻接表表示
邻接表方法采用顺序存储结构和链式存储结构来存储图，对于图中每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点连成一个单链表，即这个单链表就称为顶点vi的邻接表，另外还需将所有顶点的邻接表放进数组中，通过
邻接表存储图所用的空间大小取决于图的顶点数和边的个数，顶点数n决定了顶点表的空间大小，边的个数决定了边表结点的空间大小。- 由于图G=(V，E)，即需要在邻接表中定义两种结点结构，即顶点表和边表，另外若边上带有权值，则还需中边表上添加一个信息代表权值。
顶点表中除了数据域用于存储顶点信息，还有指向第一条与其邻接顶点的指针域；边表中由邻接点域和指向下一条邻接边的指针域组成。
#define MAXSZIE 100 /*边表结点定义（不带权值的图的边表）*/ typedef struct Node { int adjvex; //邻接点域 struct Node *next; //指向下一条邻接边的指针域 } EdgeNode; /*顶点表结点定义*/ typedef struct VexNode { int data; //数据域 EdgeNode *firstedge; //指向第一条邻接该顶点的指针域 } VHeadNode; typedef struct { VHeadNode list[MAXSZIE]; //邻接表头结点数组 int n,e; //顶点数和边数 } List;- 1
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例如，下面这个无向完全图：
为其编号如下：
其邻接表表示如下：
例如，下面这个有向图：
为其编号如下：
其邻接表表示如下：
（二）逆邻接表表示
与邻接表相反，逆邻接表表示的是顶点的入度邻接情况，即为每个顶点vi建立一个以vi为弧头的单链表，如下：
该有向图的邻接表和逆邻接表表示如下：
（三）邻接表的性质
- ✨通过邻接表存储图时，其邻接表并不唯一，这与邻接矩阵相反，是由于单链表中各边结点的连接顺序是任意的。
在邻接表表示中，对于无向图，由于同一条边连着两个顶点，所以相当于每条边在邻接表存储中被存储了两遍，而对于有向图则没有，所以：
- ✨在一个有n个顶点、e条边的无向图或有向图中，采用邻接表存储，无向图需要
n个单链表表头指针和2e个边结点；而有向图需要n个单链表表头指针和e个边结点。
可以通过邻接表看出图中顶点的度，但无向图和有向图的度不一样，如下：
- ✨对于无向图，顶点vi的
度为第i个单链表的结点数；而对于有向图，顶点vi的出度为第i个单链表的结点数，其入度为邻接表中所有单链表的邻接点域值为i的边结点个数。
对于要频繁计算有向图中顶点入度和出度的情况，可以另外建立一个逆邻接表，与有向图的邻接表相比，邻接表表示的是顶点的出度邻接情况，而相反，其逆邻接表表示的是顶点的入度邻接情况。
三、邻接多重表
邻接多重表是一种链式存储结构，用于表示
无向图，邻接多重表也是由顶点表和边表组成，每个顶点由两个域组成，data域用于存储顶点的信息，firstedge域用于指向第一条与其邻接的边，顶点表的结构如下：data firstedge 由于无向图的特点，一条边两个结点，所以每个边结点同时连接在两个链表中，相对于邻接表，邻接多重表同一条边只需一个结点表示，边表的结构如下：
mark ivex ilink jvex jlink info 首先，mark域为标识域，用于表示该边是否被访问过；ivex和jvex为该边邻接的两个顶点在图中的位置；ilink和jlink用于指向下一个邻接顶点ivex和jvex的边；info用于指向和边相关的各种信息的指针域。
四、十字链表
十字链表也是一种链式存储结构，用于表示
有向图，data域用于存储顶点的信息，firstin和firstout域分别指向以该顶点弧头或弧尾的第一个弧结点，顶点表的结构如下：data firstin firstout 十字链表中在表示弧时将其视为一个结点，tailvex和headvex域，分别表示弧的弧尾和弧头在图中的位置，hlink指向弧尾相同的下一条弧，tlink 指向弧头相同的下一条弧，info用于指向该弧的信息，从而使相同的弧尾和弧头分别在不同的一个链表上，弧结点表的结构如下：
tailvex headvex hlink tlink info -
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- 原文地址：https://blog.csdn.net/qq_43085848/article/details/126315097
