【背包九讲——多重背包问题】

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3.1 模板题

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多重背包问题 I

原题链接

描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0

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2 4 1
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输出样例：

输出样例：

10
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思想

• 状态表示：
  • 集合：dp[i][j]表示前i个物品，总体积不超过j的价值
  • 属性：最大价值
• 状态计算：
  • 不选第i个 物品：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
  • 选第i个物品k个：dp[i][j] = dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]
  • 集合属性为最大价值，故两种情况取max()
• 当背包容量不够或者物品数量不够时，即j < k * v[i] || k > s[i]时，不能选择物品，反之可选

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代码

#include 
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;

int dp[N][N];

int v[N], w[N], s[N];

void solve(){
    
    int n, m;
    
    cin >> n >>m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            for(int k = 0; k * v[i] <= j && k <= s[i]; k ++){  //枚举选择物品的个数
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    
}

int main(){
    
    solve();
    
    return 0;
    
}
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多重背包问题 II

原题链接

描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0

输出样例：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
1
2
3
4
5

输出样例：

10
1

思想

• 由于$S$范围大，不可能逐一枚举，故采用二进制优化
• 对于一组数$1,2,4,8,16,32$，每个数只使用一次，可以凑成如下的数：
  • 用$1,2$可以凑出$3$，即$1,2$可凑出$1\sim 3$之间的任意数
  • 则用$1,2,4$可以凑出$1\sim 7$之间的任意数
  • 则$1,2,4,8$可以凑出$1\sim 15$之间的任意数
  • 则$1,2,4,8,16$可以凑出$1\sim 31$之间的任意数
  • 则$1,2,4,8,16,32$可以凑出$1\sim 63$之间的任意数
  • 综上，使用$2^0,2^1,2^2,\dots ,2^n$可以凑出$1\sim 2^{n+1}-1$之间的任意整数
• 对于一个数$17$，若要用上述方法凑出$1\sim 17$之间的任意数：
  • 可选$1,2,4,8$，每个数只用一次即可凑出$1\sim 15$
  • 由于最大只能凑到$15$，故需添加一个数$2(17-15)$，来凑到$17$
  • 即用$1,2,4,8,2$即可凑出$1\sim 17$之间的任意一个数
• 对于第i个物品，体积为v[i]，价值为w[i]，共有s[i]件
• 由二进制优化，我们可以将s[i]利用二进制拆分，用$1,2,4,\dots$凑出s[i]
• 即我们将物品i，拆分成了：
  • 一件体积为1 * v[i]的物品，价值为1 * w[i]的捆绑物品
  • 一件体积为2 * v[i]的物品，价值为2 * w[i]的捆绑物品
  • 一件体积为4 * v[i]的物品，价值为4 * w[i]的捆绑物品
  • $\dots$
• 由拆分出的这些新的捆绑物品，我们可以凑出$1\sim s[i]$之间的任意数目的i物品，不必逐一枚举进行选择
• 由二进制拆分，原有的每个物品数量$S$可以降为$lo{g}_2^S$，时间复杂度大幅降低
• 对于最终求解，可以采用01背包的一维优化求解

代码

#include 
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int dp[N];

int cnt;  //用于记录新的捆绑物品的下标

int v[N], w[N];

void solve(){
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;
        
        int k = 1;  //k从1开始捆绑
        while(k < s){
            cnt ++;
            v[cnt] = k * a;  //捆绑物品的体积
            w[cnt] = k * b;  //捆绑物品的价值
            s -= k;
            k <<= 1;
        }
        if(s){  //最后剩余的无法凑整的数
            cnt ++;
            v[cnt] = s * a;
            w[cnt] = s * b;
        }
        
    }
    
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++){  //01背包一维优化求解
        for(int j = m; j >= v[i]; j --){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << dp[m] << endl;
    
}

int main(){
    
    solve();
    
    return 0;
    
}
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