本期我们继续进行运筹学之动态规划算法的讲解，我们将对动态规划的基础知识进行一个简单的回顾，并介绍求解动态规划问题的MATLAB和Python相关代码，以帮助大家利用工具快速求解动态规划问题，做到事半功倍。由于篇幅有限，小编接下来只展示部分代码，小伙伴们可以关注“运筹说”公众号→后台回复“算法介绍之动态规划（二）”获取完整代码。话不多说，我们一起来看看吧！ 

一、基础知识

1、背包问题

        ★ 问题描述

        一位旅行者携带背包去登山,已知他所能承受的背包重量限度为akg ,现有n 种物品可供他选择装入背包,第i 种物品的单件重量为aikg ,其价值(可以是表明本物品对登山的重要性的数量指标)是携带数量xi 的函数ci(xi)  (i=1,2,⋯,n) ,问旅行者应如何选择携带各种物品的件数,以使总价值最大?

        背包问题等同于车、船、人造卫星等工具的最优装载，有广泛的实用意义。

        ★ 背包问题分类

        根据物品可用数量的不同，背包问题可有如下分类：

        0-1背包问题：每种物品均只有一件可用；

        完全背包问题：每种物品都有无限件可用；

        多维背包问题：第i 种物品最多有ni 件可用。

        ★ 完全背包问题的整数规划模型

        设xi 为第i 种物品装入的件数，则背包问题可归结为如下形式的整数规划模型:

 

        ★ 动态规划顺序解法建模

        阶段k :将可装入物品按1，2，⋯，n 排序，每段装一种物品，共划分为n 个阶段，即k=1，2，⋯，n 。

        状态变量sk+1 ：在第k 段开始时，背包中允许装入前k 种物品的总重量。

        决策变量xk ：装入第k 种物品的件数。

        状态转移方程：

        允许决策集合为

        其中[sk+1/ak]表示不超过sk+1/ak 的最大整数。

        最优指标函数fk(sk+1) 表示在背包中允许装入物品的总重量不超过sk+1kg，采用最优策略只装前k 种物品时的最大使用价值。

        则可得到动态规划的顺序递推方程为

        用顺序解法逐步计算出f1(s2)，f2(s3)，⋯，fn(sn+1)及相应的决策函数x1(s2)，x2(s3)，⋯，xn(sn+1)，最后得到的fn(a)即为所求的最大价值，相应的最优策略则由反推计算得出。

        当xi仅表示装入(取1)和不装(取0)第i种物品，则模型就成了0-1背包问题。

2、设备更新问题

        ★ 问题描述

        企业中经常会遇到一台设备应该使用多少年更新最合算的问题。一般来说，一台设备在比较新时，年运转量大，经济收入高，故障少，维修费用少，但随着使用年限的增加，年运转量减少因而收入减少，故障变多维修费用增加。如果更新可提高年净收入，但是当年要支出一笔数额较大的购买费。设备更新问题的一般提法：在已知一台设备的效益函数r(t)，维修费用函数u(t) 及更新费用函数c(t) 条件下，要求在n 年内的每年年初做出决策，是继续使用旧设备还是更换一台新的，使n 年总效益最大。

        ★ 动态规划建模

        设rk(t) ：在第k 年设备已使用过t 年(或称役龄为t 年)，再使用1年时的效益。

        uk(t) ：在第k 年设备役龄为t 年，再使用一年的维修费用。

       ck(t) ：在第k 年卖掉一台役龄为t 年的设备，买进一台新设备的更新净费用。α 为折扣因子(0⩽α⩽1) ，表示一年以后的单位收人价值相当于现年的α 单位。下面建立动态规划模型。

        阶段k ：表示计划使用该设备的年限数，(k=1，2，⋯，n) 。

        状态变量sk ：第k 年初，设备已使用过的年数，即役龄。

        决策变量xk ：是第k 年初更新(replacement)，还是保留使用(keep)旧设备，分别用R 与K 表示。

        状态转移方程为

        阶段指标为

        指标函数为

        最优指标函数fk(sk)表示第k 年初，拥有一台役龄为sk 年的设备，采用最优更新策略时到第n 年末的最大收益，则可得如下的逆序动态规划方程：

        实际上，

​​

二、算法实现

1、背包问题

（1）完全背包问题

        ①例题介绍

        有一辆最大货运量为10t的卡车，用以装载4种货物，每种货物的单位重量及相应单位价值如下表所示。每种货物都有无限件，应如何装载可使总价值最大？

        ②平台实现

        我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解完全背包问题的相关代码。

        ★ 代码展示

        ★ 代码调用

        代码运行及最终结果展示如下，可以看到i=3有两次，i=4有两次，也就是第3种货物被选择了两次，第4种货物被选择了两次。可以装载的总价值为16t。

        （2）0-1背包问题

        ★ 例题介绍

有一辆最大货运量为10t的卡车，用以装载4种货物，每种货物的单位重量及相应单位价值如下表所示。每种货物都只有1件，应如何装载可使总价值最大？

 

        ★ 平台实现

        我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解0-1背包问题的相关代码。

        ①MATLAB

        ★ 代码展示 

        ★ 代码调用

        代码运行及最终结果展示如下，可以看到在每种货物只有一种可以装载的情况下，所装货物为第1个、第3个和第4个，可以装载的总价值为12t。

        ②Python

        ★ 代码展示 

        ★ 代码调用

        代码运行及最终结果展示如下，可以看到在每种货物只有一种可以装载的情况下，所装货物为第1个、第3个和第4个，可以装载的总价值为12t。

2、设备更新问题

        （1）例题介绍

        设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如下表所示。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大（设α =1）。

         （2）平台实现

        我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解设备更新问题的相关代码。

        ★ 代码展示

        ★ 代码调用

        代码运行及最终结果展示如下，可得本例最优策略为：（1，0，0，0，1），即（K,R,R,R,K）,也就是第1年初购买的设备到第2、3、4年年初各更新一次，用到第5年年末，其总效益为17万元。

 

三、参考资料

【完全背包问题Python实现】

完全背包问题并记录选择物品和个数（python实现） - 灰信网（软件开发博客聚合）

【0-1背包问题Python实现】

动态规划之01背包问题及其优化(python实现)_ZzzMxin的博客-CSDN博客_01背包问题动态规划 python

【0-1背包问题MATLAB实现】

分组背包问题Matlab实现——之基本背包问题_Tsroad的博客-CSDN博客

本期的内容就介绍到这里，想要进一步了解运筹学，关注本公众号，快快学起来吧！

作者 | 尹萌娟 陈梦

责编 | 刘文志

审核 | 徐小峰