编码通信与魔术初步（五）——编码通信魔术入门《3 * 7的感应》

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在前面的内容里，我着重介绍了通信模型，信息论，以及把这些理论用在魔术上的基本思路。最后尤其说清楚了编码通信魔术的应用边界，是以辨识力效果作为主要表现形式的这类魔术的主要数学原理。相关内容请戳：

编码通信与魔术初步（四）——通信编码魔术的基本原理

编码通信与魔术初步（三）——最大熵模型

编码通信与魔术初步（二）——信息论基础

编码通信与魔术初步（一）——通信浅谈

编码通信魔术里，因为本质上魔术师只是秘密地得知了一些信息而已，天然表现为辨识力的魔术效果。而转化为其他不同的形式的效果则比较少，但也不是没有，比如也可以把这个信息变成一种巧合（如《对称与魔术初步（二）——经典魔术《命中注定的缘分》》等在对称与群论系列里的魔术很多都是这样，不过通信部分比较简单，因此重点放在了对称上）。另外非数学的一些其他原理也存在，可以有其他手段，不过无论如何也绕不过编码和通信这一关，因为我们早已把任何形式的信息传递都划为通信了，这是目前人类获取外界信息的唯一方法。

从今天开始，我们来看几个魔术的例子，看看它们是怎么通过一些隐含的编码内容，来传递额外的信息来完成魔术效果的。

3 * 7的感应

视频1 3 * 7的感应

魔术来源

这个魔术有些年代了，依稀记得，实在小学时候一个叫张艺迪的女生变给我看过一个类似的（当然我已经联系不上她了，如果有幸她能够看到，那真是奇迹）。她那个是3 * 3的版本，后来不知道在同学们中何处流传出来一个3 * 7的版本，后来在很多场合也看到爱好者们表演。我重新总结，经过了一些修缮后，最终变成我表演出来的这个样子。

关于这个魔术最初始的来源，在Mathematics magic and mystery一书中的From Gergonne to Gargantua章节里，有个3 * 9版本的作品，但虽然形式上类似，效果却要更好，原理也更复杂。需要拓展到向量的排列群的语言来表达其位置变化规律，是个不错的通信和编码3进制的例子，而且我还尝试着把它改成了类似巴格拉斯效果的魔术，我们到相关系列再拿出来和大家分享。

我其实有很久没有演过这个了，因为和一些手法魔术比起来确实流程有些长，效果也没有那么爆炸。但是作为self-working类魔术中的一员，还是足够经典，作为数学魔术的教学内容，也是非常好的素材。

数学原理

数学部分其实很简单，整个魔术过程中，我们一共询问过3次“你的牌在哪一叠”。每次呢其实都是从三叠中间选一叠，那这里观众给的答案，对魔术师来说就是信息。而到底这27张牌哪一张才是观众选的，这件事情，就像那个想知道世界杯32强哪只队伍能够夺冠一样，是我们关注的事情，它是用随机变量来描述的。

我们根据最开始设定的信息和不确定度，也就是熵的定义，来看一下，信息是如何消除不确定度，让熵降低到0的。

首先，21张牌，在没有任何观众选择偏好的情况下，我们只能假设那个最不坏的答案，即满足最大熵的均匀分布。其熵便是H0 = log21 bit。当然，这里你有其他的信息，比如对观众选择特定位置和花色点数偏好的影响也可以帮助你减小这个熵。但是，得到了观众答案这种超强信息以后，你会发现，哪怕不用这些可能有点难用而且可能估计错误的分布信息，也完全无妨。

然后，观众给了一条价值log3 bit的信息I1，因为瞬间其选项数就从21降到了7，即：

H1 = H0 - I1 = log7 bit

这个log3 bit有两种计算和理解方法：

1. 它在3叠中告诉了一叠，在均匀分布下，相当于把一个3分类均匀分布的变量变成了熵为0的确定事件，自然信息量就是I1 = H - 0 = 3 bit；

2. 从结果反推，最后剩7个选项了，原来是21个，如果仍然都是均匀分布的话，那么I1 = H0 - H1 = log3 bit。

注意以上一切的前提都是，变量一直都是均匀分布的，否则严格来讲，以上的信息，熵的计算都是不准确的。

以上两种计算方法中，第1种其实是不完全准确的，当且仅当观众告诉的这个信息被完全使用，没有任何冗余和浪费的时候，才成立。举个例子，比如这时候她告诉你是否对你心动，这也可以值接近1个bit，如果你真的没想过的话，但是这1bit信息和你关注的变量可能完全没有关系。所以对关于哪张牌才是她选的这件事的不确定度没有任何降低，信息量为0。这个例子比较极端，看下一个步骤会更明显。

然后，重新发牌以后，又问了一遍再哪一叠。这里用到的发多叠的方式所遵循的规律，可以用《序列周期性与魔术（六）——魔术欣赏与解析续集》这一讲中的方法来分析。原来被确定为牌位置编号带余除法除以7的结果为1的那些牌，如果依次发成7叠，那符合之前描述的规律，恰好在7叠中的位置都是倒数第1。但是，发成3叠的话，这些规律就都被打破了。大家拿一副牌来发一下，其实也很容易看到这里的规律：可行解现在放置在了第1叠的4，5张，2叠的3，4，5张，3叠的3，4张。所以此时，在没有获取观众的信息之前，选牌处在1，2，3叠的概率分别为2 / 7, 3 / 7, 2 / 7。于是，处在哪叠这件事情本身的熵是：

H(d2) = - ((2 / 7) * log (2 / 7) * 2 + 3 / 7 * log(3 / 7))

那么告诉你在哪一叠，把这件事的熵降为0，理论上来说，其信息量也就是：

I2 = H(d2) - 0

这里并不是想象的那么简单，又是一个log3 bit。当然，从结果上看，分别有2 / 7, 3 / 7, 2 / 7的可能，其信息量变为log2，log3， log2，剩下的熵为：

H2 = - ((2 / 7) * log2 * 2 + 3 / 7 * log3)

因此，I2 = H1 - H2，这个结果刚好和H(d2)相等。这样看，在哪叠这个信息确实被选牌是哪一张这件事给完全吸收了，是信息的无冗余的完全利用。而因为具体选哪叠是未知的，因此，这是一个边缘分布函数对应的熵。

其实，关于信息量，也就是熵的减小，可以就指着每一个选项，计算它获得信息以后的分布概率p对应的最有编码需要的理论bit数- logp对应原来的值 - logp’的减少量- logp’ - (- logp) = logp / p’，这个量在新分布p下的期望即为所求Ep(logp / p')。大家可以看看上面的计算，就是算的这个，而这个本质的物理意义也很明白，就是平均来看，编码每个选项所需要的理论最优bit数减少了多少，这可不就是信息的定义么。当然，还是那句话，你得先有一个准则去把分布估计出来，比如最大熵准则。而如果真的知道真实分布，那这个公式算的就是估计分布到真实分布的交叉熵了。

到此为之，现在选牌剩下的信息量已经不足log3 bit了。哪怕就按照3bit来估计，那最后一次回答也够最终3个选项中确定一个。至此，该条信息的信息量为：

I3 = H2 - H3 = H2 - 0 = H2

于是最终确定出魔术师需要的信息。

当然了，我们这里是借这个魔术把前面信息论的知识一起串起来复习了一遍，其实完全不懂这些，对理解这个魔术怎么发生的也完全没关系。比如我读小学和给小学生讲解这个魔术的时候，哪知道啥是信息论啊，但还是可以看到每一次回答，都使得牌的范围缩小一点，最后缩小到只剩下一张，用到的数学描述工具也仅仅停留在带余除法。确实这样理解也没问题，因为这里的问题很简单，若是复杂一点，就得用以上更加本质的数学工具才能描述清楚了。我在学群论之初就感受特别深刻，一个对称还需要搞个结构出来？小学时候那么复杂的图形有几条对称轴我都数得清楚。呵呵，事实证明，有了群这种数学工具，才知道你很难找到两个完全一样的魔方。当时没问题不过是问题太简单，不需要理解到那个层次而已，但是好学的你，会不求甚解吗？

魔术原理

最后话又说回来，纯魔术师也是不用懂这些的。这些是讲给对数学，魔术爱好者听的。魔术师只需要记住这些结论，跟着做的是了，他们的本事，在表演上。

好了，我们来看一下，这个魔术在流程编排上，有哪些值得注意的点。

首先，这里有若干次完全一样的多叠发牌，很容易让人机械地联想到是某种特殊的规律在起作用，而且中间也是不能洗牌的。因此，为了尽量消除这种印象，最开始，选这21张牌，我会让观众随便挑，记牌以后第一次给观众洗乱，然后再进入那3次发牌和询问的环节。前面这两步其实不会增加总的找到牌的难度是熵为log21这个事实。但是这些随便挑，随便洗的操作在主观上增加了感觉上认为的混乱度和难度。要知道，直觉上人就是这么表面地看事物的，只有启动那个逻辑思维脑的时候才会像前面讲解的这样来思考。能够一直用理性工作，用感性生活和看魔术，那时多么美好的事情啊！

另外一点就是这个21张的数量。肯定有人会说，明显最多可以27张嘛，使得每次观众都提供了log3 bit的信息。没错，确实是这样，但为什么要浪费掉6张牌的自由度呢？这里就涉及到，魔术作为艺术的目标和数学作为科学研究目标的不同了。数学需要严谨，需要追求给定条件下的极致；而魔术则更多的是从人的感性层面出来来考虑的。首先，你从21张还是27张中间找到了观众选的牌，感受上区别并不大，虽然熵的不确定度上真的区别不小，除非小到3张，人们才会有比较大的区别，觉得还是二十几张的这个可能更厉害；其次，我们希望尽量抹去魔术中所有可能的数学含义，比如3 ^ 3 = 27里面的这些要素是我们并不希望提及的，3已经被反复提及了，那27我们就讳莫如深了；最后，信息论告诉我们，这些回答最多提供log 3 ^ 3 = log 27 bit的信息，牌的数量不能再多了，否则就要加信息。综上，这就是为什么用21的原因，我们从魔术的精彩程度和数学给与的限定，最终给出了这个答案。

还有一点就是最后的展示方法。因为已经直到是某叠第4张了，可以以任意的方式，包括手法等变出来。当然这里可以接更多效果，比如视频中这个J是我本来没有想到而临时发现，恰好和牌的位置一样而临时改编的，属于灵光一闪。另外，也可以根据牌点去切牌控制到对应的位置来做这个效果，这其实就有点像是把一个辨识力的效果变成了一个巧合了。至于好坏，自己体会。还有，如果把最后有选牌的那一叠放在中间，那它就是中间位置，有一些诸如OverCoat等具有不动点性质的操作使得其继续被随便洗乱，然后再用约瑟夫问题使得最后留下一张就是选牌等等，都可以把后面的效果组合加强成一个巧合。

好了，这个魔术的分享就全部说完了，下面还有更多精彩，我们下期再见。

视频先睹为快。

视频2 傅氏幻术——心灵感应

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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