【考研数学】七. 曲线积分

曲线积分

基础知识点1 曲线积分的分类

• 第一类曲线积分：对弧长的线积分
• 第二类曲线积分：对坐标的线积分

基础知识点2 第一类曲线积分的识别

积分区域是一条曲线，有可能是平面曲线，也有可能是空间曲线，有可能是闭合曲线，或非闭合曲线。所以有四种:

基础知识点3 第二类曲线积分的识别

与第一类曲线积分的共同点：左侧的积分区域以及积分号，但是微元不是ds，而是dx或者dy

基础知识点4 第二类曲线积分的可省略写法

多于一项时，只需写第一个积分符号，后面的积分符号都可以不写

基础知识点5 当被积函数为1时第一类曲线积分的意义

代表积分区域曲线的长度
$${\int }_{l}1ds=L的长度$$

核心考点1 第一类曲线积分的计算

注意可以直接代入曲线的方程到被积函数

1. 换被积函数

2. 换ds

• 直角坐标

$$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

• 参数方程

$$ds=\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt$$

• 极坐标

$$ds=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta$$

3. 确定积分上下限：大的上限，小的下限

4. 计算定积分即可。

核心考点2 第二类曲线积分的计算（重点）

1. 常规方法

常规方法：同第一类的计算方法，换微元和被积函数的元

需要注意：确定积分上下限时，起点为下限，终点为上限。

本质：将第二类曲线积分转化为定积分。

2. 格林公式

重中之重

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y），Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有：
$${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$$
本质：将第二类曲线积分转化为二重积分。

符号：L为D取正向的边界曲线

适用范围：

• 平面
• 闭合
• 可导：若被积函数含有分数，且积分区域含有令分母为0的点，则不可导，否则可导。

方法选择：

• 若平面曲线多于一项，选择格林公式；否则采用常规方法。
• 若没闭合，可以尝试补线 闭合。