【gzoj1081】k上升段【DP】

分析

这题直接暴力肯定是不行的，全排列那么多。就想能不能递推或者DP。其实关键就是要找到前面与后面的关系。

对于i的排列，新加进来一个i+1，其实只有两种情况：增加了一个段或者没有增加段。从这里作为突破口。

设 $f[i][j]$ 为 $i$ 的全排列中 $j$ 上升段序列的个数。如果新加进来的没有增加段数，那就是从 $f[i-1][j]$ 过来的，如果增加段数，那就是从 $f[i-1][j-1]$ 转移过来的。

没有增加段数只能添加在每一段的段末，所以方案数就是 $j\ast f[i-1][j]$，增加段数的情况得放在段中，想想能放几个位置：如果有一个段，就有$i-1$个段中位置，每增加一个段都会“破坏”一个段中，所以一共有 $(i-j)$ 个段中，特别的，可以放在数列的最前面，所以方案数就是 $(i-j+1)\ast f[i-1][j-1]$ 两种情况之和就是转移方程。

对于边界条件，显然有$f[i][1]=1,f[i][i]=1$，转移时需要$j<=i$。

上代码

#include
#include
#include
using namespace std;

long long n,k,f[21][21];

int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1,f[i][i]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=2;j<=i;j++)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j-1]*(i-j+1)+f[i-1][j]*j;
		}
	}
	cout<<f[n][k];
	return 0;
 } 
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