[NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

1 、给定 $m$ 个区间 $[l_i,r_i]$；

2 、选出一个参数 $W$；

3 、对于一个区间 $[l_i,r_i]$，计算矿石在这个区间上的检验值 $y_i$：

$$y_i=\sum _{j=l_i}^{r_i}[w_j\ge W]\times \sum _{j=l_i}^{r_i}[w_j\ge W]v_j$$

其中 $j$ 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 $y$ 为各个区间的检验值之和。即：$\sum _{i=1}^m{y}_i$

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $s$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $s$，即使得 $|s-y|$ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,s$，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 $n$ 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+1$ 行表示 $i$ 号矿石的重量 $w_i$ 和价值 $v_i$。

接下来的 $m$ 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+n+1$ 行表示区间 $[l_i,r_i]$ 的两个端点 $l_i$ 和 $r_i$。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例 #1

样例输入 #1

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9

样例输出 #1

10
1

提示

【输入输出样例说明】

当 $W$ 选 $4$ 的时候，三个区间上检验值分别为 $20,5,0$ ，这批矿产的检验结果为 $25$，此时与标准值 $S$ 相差最小为 $10$。

【数据范围】

对于 $10% $ 的数据，有 $1\le n,m\le 10$；

对于 $30% $的数据，有 $1\le n,m\le 500$ ；

对于 $50% $ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤5,000$；

对于 $70\%$ 的数据，有 $1\le n,m\le 10,000$ ；

对于 $100\%$ 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤200,000$，$0<w_i,v_i\le 10^6$，$0<s\le 10^{12}$，$1\le l_i\le r_i\le n$ 。

分析

题意就是需要设定一个值，使每个区间大于这个值的物品个数和与物品价值和的乘积尽量接近标准值s。

看到数据范围，最多只能是带log的时间复杂度，又看到 $w,v$ 都是$10^6$ ，所以就想到二分设定的参数值。然后对于二分出来数进行计算。因为是区间和的关系，所以就用前缀和去处理，只要暴力判断是否大于参数值即可，这里是 $O(n)$ 的。

计算出来的值与标准值比较，如果大了就下调参数，小了就上调参数，记录比标准大的当中最小的和比标准小的当中最大的，看看哪个更接近，完事。

上代码

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,m,s,up=1e18,down;
ll w[200010],v[200010],h[200010],t[200010];
ll a[200010],b[200010];//前缀和

ll calc(int x)//x为现在参数 
{
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	if(w[i]>=x) a[i]=a[i-1]+1,b[i]=b[i-1]+v[i];
    	else a[i]=a[i-1],b[i]=b[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		ans+=(a[t[i]]-a[h[i]-1])*(b[t[i]]-b[h[i]-1]);
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&w[i],&v[i]);
	} 
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&h[i],&t[i]);
	}
	int l=1,r=1e6,mid;
	while(l<r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		ll cnt=calc(mid);
		if(cnt-s==0) 
		{
		    down=s;
		    break;
		}
		else if(cnt-s<0)
		{
			r=mid;
			down=max(down,cnt);
		} 
		else if(cnt-s>0)
		{
			l=mid+1;
			up=min(up,cnt);
		} 
	}
	if(s-down<up-s) cout<<s-down;
	else cout<<up-s;
	return 0;
} 
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