最小斯坦纳树【模板】

>Link

luogu P6192

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>Description

在一张大小为 $n$ 边数为 $m$ 的无向图中，要求用最小的代价联通指定的 $k$ 个点。

$1\le n\le 100,1\le m\le 500,1\le k\le 10,1\le u,v\le n,1\le w\le 10^6$

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>解题思路

这是一道斯坦纳树模板题。

可以很容易得出，最终以最优代价联通 $k$ 个点的子图是一棵树（边数最少）
看到 $k$ 小于10，可以想到状压。我们设 $f_{i,s}$ 为联通点集为 $s$，联通图（树）以 $i$ 为根，付出的最小代价。那么就有两种转移：

① 如果 $i$ 有多个子树，那么就把 $s$ 分成多个子集，当做每个子树联通的点集，实际转移中分成两个 $j,t$ 就可以实现
$$f_{i,s}=f_{i,j}+f_{i,t}$$

② 如果 $i$ 只有一个相邻节点 $j$（且 $i$ 还是根），那么
$$f_{i,s}=f_{j,s}+e_{i,j}.w$$
这个转移可以用 $SPFA$ 或 $dij$ 来实现

要注意的是：如果在实际情况下不是边权而是点权，那第一个转移方程还要再减去一个 $a_{i,j}$，因为重复加了一次。因为这个调了差不多一个晚上T_T

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>代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define N 5010
using namespace std;

queue<int> Q;
struct edge
{
	int to, nxt, w;
} e[N * 2];
int n, m, k, f[N][N], cnt, h[N], T, p[N];
bool vis[N];

void add (int u, int v, int w)
{
	e[++cnt] = (edge){v, h[u], w}; h[u] = cnt;
	e[++cnt] = (edge){u, h[v], w}; h[v] = cnt;
}
void spfa (int s)
{
	int u, v;
	while (!Q.empty())
	{
		u = Q.front(), Q.pop(), vis[u] = 0;
		for (int i = h[u]; i; i = e[i].nxt)
		{
			v = e[i].to;
			if (f[u][s] + e[i].w <= f[v][s])
			{
				f[v][s] = f[u][s] + e[i].w;
				if (!vis[v]) vis[v] = 1, Q.push (v);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf ("%d%d%d", &n, &m, &k);
	int u, v, w;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		scanf ("%d%d%d", &u, &v, &w);
		add (u, v, w);
	}
	memset (f, 0x7f, sizeof (f));
	for (int i = 1; i <= k; i++)
	{
		scanf ("%d", &p[i]);
		f[p[i]][1 << (i - 1)] = 0;
	}
	for (int s = 1; s < (1 << k); s++)
	{
		memset (vis, 0, sizeof (vis));
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (int subs = s & (s - 1); subs; subs = s & (subs - 1))
			{
				f[i][s] = min (f[i][s], f[i][subs] + f[i][s ^ subs]);
			}
			if (f[i][s] != f[0][0])
			{
				Q.push (i);
				vis[i] = 1;
			}
		}
		spfa (s);
	}
	printf ("%d", f[p[1]][(1 << k) - 1]); //因为是树所以哪个点为根都无所谓
	return 0;
}
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