收敛因子和黄金正弦指引机制的蝴蝶优化算法

摘要：针对蝴蝶优化算法（butterfly optimization algorithm,BOA）中存在的局部开采和全局探索能力不均衡,易陷入局部最优值,收敛精度低等缺陷,提出收敛因子和黄金正弦指引机制的蝴蝶优化算法（convergence factor and gold sinusoidal guidance mechanism of butterfly optimization algorithm,AGSABOA）。受到鲸鱼优化算法的启发将收敛因子融入算法的全局位置更新处,提高算法全局搜索的多样性;结合黄金正弦指引机制,弥补BOA算法迭代后期种群多样性下降,易陷入局部最优的不足。

1.蝴蝶优化算法

基础蝴蝶优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107855860

2. 改进蝴蝶优化算法

2.1 收敛因子

为进一步增强 BOA 算法的探索能力和提高收玫精度, 受到鲸鱼优化算法的启发, 将鲸鱼优化算法中非线性收玫 因子 $a$ 引入基本蝴蝶优化算法的全局位置更新处, 希望迭 代前期 $a$ 值较大以增强全局勘探能力且递减速度较快, 而 迭代后期 $a$ 值收玫到较小值且递减速度变缓慢, 以实现前 期快速收玫, 提高算法后期的收玫精度。 $a$ 随着迭代次数的 增加由 2 减小到 0 。公式如下
$$a=2-t/t_{\max }\text{\hspace{1em}(4)}$$
式中: $t$ 是当前迭代次数, $t_{\max }$ 是最大迭代次数。
改进后全局位置更新公式如下
$$x_i^{t+1}=a{x}_i^t+\left(r^2\times g^{\ast }-x_i^t\right)\times f_i\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.2 黄金正弦指引机制

黄金正弦算法 (golden sine algorithm, Golden-SA) ${}^{[8]}$
是 Tanyildizi 提出的新型元启发式算法。根据正弦函数定义 中与单位圆的关系, 遍历单位圆上所有正弦值的行为与优 化算法中搜索代理在搜索空间中进行寻优的原理是一致的, 受此启发产生了黄金正弦算法。在该算法中, 创建随机个 体的数量与每个具有均匀分布的搜索代理的数量相同。与 其它元启发式方法相比, Gold-SA 具有更少的依赖于算法 的参数和运算符, Gold-SA 算法通过使当前解空间更接近 目标值的方式来搜索以在每次迭代中得到更好的搜索空间, 搜索空间被黄金比例系数缩小以便获得更小的解空间而不 是整个解空间, 从而有效提升寻优速度。黄金正弦算法的 具体定义及推导过程请参考文献 $[8,11,12]$ 。

Gold-SA 算法的主要过程是其解的更新过程, 首先随 机产生 $n$ 个个体的位置, 假设优化问题的每个解对应搜索 空间中对应个体的位置, 并用 $x_i^t$ 表示 $D$ 维个体空间中第 $i$ 个个体的解向量, $x_i^s=\left(x_{i,1},x_{i,2},\cdots ,x_{i,D}\right)(i=1,2,\cdots ,n;t=$ $1,2,\cdots ,t_{\max }),t_{\max }$ 是最大迭代次数, $g^{\ast }$ 是第 $t$ 次迭代中的最 优位置, 第 $i$ 个个体位置更新公式如式 (6) 所示
$$x_i^{t+1}=x_i^t\ast \left|\sin \left(r_1\right)\right|+r_2\ast \sin \left(r_1\right)\ast \left|{\theta }_1\ast g^{\ast }-{\theta }_2\ast x_i^t\right|\text{\hspace{1em}(6)}$$
式中: $r_1$ 和 $r_2$ 是随机数, $r_1$ 决定算法在下一次迭代中个体的 移动距离, $r_1\in [0,2\pi ],r_2$ 控制下一次迭代中第 $i$ 个个体的 位置更新方向, $r_2\in [0,\pi ];{\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 是引人黄金比例系数获得 的系数, 它们缩小了搜索空间, 并且指引个体逐步向最优值 靠近, 提高了算法的收玫速度, 黄金分比例系数 $\tau$ 是一个无
理数 $\tau =(\sqrt{5}-1)/2\approx 0.618033,\cdots ,{\theta }_1=a\ast \tau +b\ast (1-\tau )$, $a$ 和 $b$ 的初始值取 $-\pi$ 和 $\pi$, 在迭代过程中, $a$ 和 $b$ 的值会随着目标函数值的变化而变化, ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$ 的值也随之更新。
本文将黄金正弦算法作为局部算子融人基本 $\mathrm{BOA}$ 中, 在迭代后期对整个 BOA算法进行黄金正弦优化, 能够弥补 算法在迭代后期的收玫速度慢, 收玫精度不高的缺陷, 基 本的 $\mathrm{BOA}$ 算法在局部搜索阶段采用随机游走的方式, 搜索 空间比较广泛; 然而元启发式算法的主要目标是探索被认 为是最佳搜索空间的区域, 并确保尽可能完整地扫描这些 区域, 搜索空间的广泛性是解决问题的主要问题。在解决 问题时缩小搜索空间的效果会显著影响寻优效果, 而在 Gold-SA 算法中的参数 $r_1$ 和 $r_2$ 能够有效控制位置更新距离 和方向, 逐步缩小搜索空间, 指引蝴蝶个体迅速向最优个 体靠近, 加快种群中信息交流, 降低算法陷人局部最优值 的可能性, 从而提高算法的收玫速度和寻优精度。本文提 出的融合非线性收玫因子和黄金正弦指引机制的蝴蝶优化 算法（AGSABOA）的具体步骤如下。

3.实验结果

4.参考文献

[1]高文欣,刘升,肖子雅,于建芳.收敛因子和黄金正弦指引机制的蝴蝶优化算法[J].计算机工程与设计,2020,41(12):3384-3389.

5.Matlab代码

6.Python代码