通过上一节的内容，我们知道：级数的收敛与数列的收敛本质上是一回事。这使得通过数列的性质推导级数的性质成为了可能。
定理 1. 数项级数收敛的必要条件：设 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}x_{n} ∑n=1∞xn 为任意一个级数，若 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}x_{n} ∑n=1∞xn 收敛，则由其通项构成的数列 { x n } \{x_{n}\} {xn} 是无穷小量。即：
lim n → ∞ x n = 0. \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = 0. n→∞limxn=0.
证：
不妨设 ∑ n = 1 ∞ x x = S , S ∈ R \sum_{n=1}^{\infty}x_{x}=S,S \in \mathbb{R} ∑n=1∞xx=S,S∈R，其部分和数列为 { S n } \{S_{n}\} {Sn}，则有：
lim n → ∞ S n = S . \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = S. n→∞limSn=S.
从而有：
lim n → ∞ x n = lim n → ∞ ( S n − S n − 1 ) = lim n → ∞ S n − lim n → ∞ S n − 1 = S − S = 0. \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}(S_{n}-S_{n-1}) = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} - \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n-1} = S - S =0. n→∞limxn=n→∞lim(Sn−Sn−1)=n→∞limSn−n→∞limSn−1=S−S=0.
证毕
附注：定理 1 可用来判断某些级数发散。
例题：当 ∣ q ∣ ≥ 1 |q|\ge 1 ∣q∣≥1 时， { q n } \{q^{n}\} {qn} 不是无穷小量，因此级数 ∑ n = 1 ∞ q n − 1 \sum_{n=1}^{\infty}q^{n-1} ∑n=1∞qn−1 发散。
定理 2. 级数收敛的 Cauchy 准则：级数
∑
n
=
1
∞
x
n
\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}
∑n=1∞xn 收敛的 充分必要条件 为：对于任意给定的
ϵ
>
0
\epsilon >0
ϵ>0，存在正整数
N
N
N，使得对一切
m
>
n
>
N
m>n>N
m>n>N，成立：
∣ x n + 1 + x n + 1 + ⋯ + x m ∣ = ∣ ∑ k = n + 1 m x k ∣ < ϵ . |x_{n+1}+x_{n+1}+\cdots+x_{m}|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}x_{k}\right|<\epsilon. ∣xn+1+xn+1+⋯+xm∣=∣ ∣k=n+1∑mxk∣ ∣<ϵ.
等价地，有另一表述：对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon >0 ϵ>0，存在正整数 N N N，使得对一切 n > N n>N n>N 和一切正整数 p p p 成立：
∣ x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x n + p ∣ = ∣ ∑ k = 1 p x n + k ∣ < ϵ . |x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{n+p}| = \left|\sum_{k=1}^{p}x_{n+k}\right|<\epsilon. ∣xn+1+xn+2+⋯+xn+p∣=∣ ∣k=1∑pxn+k∣ ∣<ϵ.
附注：对于 定理 2 的第二种表述，若取
p
=
1
p=1
p=1，则得到
∣
x
n
+
1
∣
<
ϵ
,
∀
n
>
N
|x_{n+1}|<\epsilon,\forall ~ n>N
∣xn+1∣<ϵ,∀ n>N，此即为 定理 1 中级数收敛的必要条件。
证：
对数项级数的部分和数列应用 数列收敛的 Cauchy 准则，即可得证。
证毕