一、图的结构

• 树和图一样，也是一种非线性结构，线性结构中的数据元素之间是“一对一”的关系，树形结构中的数据元素之间是“一对多”的关系，而图中的数据元素之间是“多对多”的关系，每个数据元素可以有多个直接前驱和多个直接后继，即图的结构是网状结构。

注：图与线性表、树不一样，线性表、树可以为空表、空树，但图不能为空图。

二、图的定义

• 图是由一个非空的顶点集合V（顶点集）和一个描述顶点之间关系——边的有限非空集合E（边集）所组成的一种数据结构，记为G=（V，E），其中图的顶点集V不一定为空，而图的边集E可以为空。

（一）有向图和无向图

按照图中的边是否有方向性，可以分为有向图和无向图。

1、无向图和无向完全图

无向图中每条边都没有方向，一般用圆括号“（）”表示两个顶点之间的边，若边中带有数据信息，则称为权，（v_i，v_j）表示顶点v_i和顶点v_j之间的无向边。【带权的无向图称为无向网】

上图可表示为：
G=（V，E）
V= {V1，V2，V3，V4}
E= {（V1，V2），（V1，V3），（V2，V1），（V2，V3），（V2，V4），（V3，V4）}

若一个无向图中，若每个顶点都有一条边连接，则称为无向完全图，可知：

• ✨在一个含有n个顶点的无向完全图中，共有n(n-1)/2条边。

例如，下面就是一个无向完全图，n=4，含有6条边：

2、有向图和有向完全图

有向图中每条边都有方向，一般用尖括号“<>”表示两个顶点之间的首尾关系，i，v_j>表示从顶点v_i到顶点v_j的弧，同样，若弧中带有数据信息，也称为权。i，v_j>其中第一项v_i称为弧尾，第二项v_j称为弧头，也称为顶点v_i邻接到顶点v_j。【带权的有向图称为有向网】

上图可表示为：
G=（V，E）
V= {V1，V2，V3，V4}
E= { ，，，， }

若一个有向图中，若每个顶点都有互相相反的两条弧连接，则称为有向完全图，可知：

• ✨在一个含有n个顶点的有向完全图中，共有n(n-1)条弧。

例如，下面就是一个有向完全图，n=4，含有12条弧，每个顶点都有相互的弧连接：

（二）度的概念

1、无向图的度

在无向图中，对于一个顶点，其边的个数称为该顶点的度，记为TD(v)，例如，下面这个无向图中：

各结点的度为：
TD(V₁)=2
TD(V₂)=3
TD(V₃)=3
TD(V₄)=2

2、有向图的度

在有向图中，对于一个顶点，该结点的度等于顶点的入度+顶点的出度，
该结点的弧头数目称为入度，记为ID(v)；结点的弧尾数目称为出度，记为OD(v)，即TD(v)=ID(v)+OD(v)：

例如，下面这个有向图中：

各结点的度为：
ID(V₁)=2，OD(V₁)=0
ID(V₂)=0，OD(V₂)=3
ID(V₃)=2，OD(V₃)=1
ID(V₄)=1，OD(V₄)=1
TD(V₁)=ID(V₁)+OD(V₁)=2+0=2
TD(V₂)=ID(V₂)+OD(V₂)=0+3=3
TD(V₃)=ID(V₃)+OD(V₃)=2+1=3
TD(V₄)=ID(V₄)+OD(V₄)=1+1=2

---

• ✨对于一个有n个结点，e条边的图，顶点v_i的度与顶点的个数以及边的数目满足以下关系：
  $$\sum _{i=1}^{n}TD(v_i)=2e$$

例、若无向图G有23条边，度为4的顶点有5个，度为3的顶点有4个，剩下都是度为2的顶点，求图G中顶点数目。
解：$$由\sum _{i=1}^{n}TD(v_i)=2e，可知，e=23，即$$
设剩下度为2的结点数目为x，则，4×5+3×4+2x=2×23=46，
所以得到x=7，故5+4+7=16，共16个结点。

例、已知无向图G含有16条边，其中度为4的顶点个数为3，度为3的顶点个数为4，其他顶点的度均小于3，求图G所含的顶点个数至少为____________。
解：由于其他顶点的度均小于3，当剩余顶点的度为2时，此时顶点的个数最少，
可设剩下度为2的结点数目为x，则4×3+3×4+2x=16×2=32，
得到x=4，故3+4+4=11，图G所含的顶点个数至少为11。

（三）路径、路径长度和简单路径

路径，即一个顶点到另一个顶点经过的顶点序列，路径上边或弧的数目称为路径长度；若顶点序列中的各顶点不同，则称这样的路径称为简单路径。

这个无向图中，顶点V2到顶点V3的路径有：
V2→V1→V3，路径长度为2
V2→V4→V3，路径长度为2
V1→V3，路径长度为1
另外，例如V2→V1→V3就是一个简单路径，其顶点序列中的各顶点不同。

（四）回路和简单回路

在一个路径中，若起始结点与结束结点相同，则称该路径为一个回路或环；另外，除了第一个结点和最后一个结点外，若顶点序列中的各顶点不同，则称这样的路径称为简单回路

例如，上面这个无向图中，V2→V1→V3→V2是一个回路，V2→V3→V4→V2也是一个回路，同样，V2→V1→V3→V4→V2也是一个回路，这些回路中，除了第一个结点和最后一个结点外，若顶点序列中的各顶点不同，它们也都是简单回路。

• ✨若一个图有n个顶点，且有大于n-1条边，则该图一定有回路。
  

（五）距离

若从一个顶点到另一个顶点之间的最短路径存在，这称该路径的长度为该结点到另一个结点的距离，若两个结点之间不存在路径，则记距离为无穷（∞ ）。

三、图的相关知识

（一）简单图、多重图

若一个图满足以下条件，则称为简单图：
1、没有重复的边；
2、不存在顶点到其自身的边；
反之，则为多重图。
例如，以下都是简单图：

（二）子图

对于两个图G1=（V1，E2）和G2=（V1，E2），若V2是V1的子集，且E2是E1的子集，则称G2是G1的子图，另外若有V(G2)=V(G1)的子图G2，则称其为G1的生成子图。

例如上面，G2是G1的子图。

（三）连通图和强连通图

连通图指的是无向图，强连通图指的是有向图

1、连通图、连通分量（对于无向图）

在无向图中，若一个顶点到另一个顶点存在路径，则称这两个结点是连通的。若无向图中任意两个结点都是连通的（任意两个结点之间有路径），则称该图为连通图，否则为非连通图；无向图的极大连通子图称为连通分量。

• ✨若一个含有n个顶点的无向连通图，构成一棵树时图中边数最少，有n-1条边；当无向完全图时图中边数最多，有n(n-1)/2条边。
  
  

例、具有6个顶点的无向图中，当至少有_________条边时能确保是一个连通图。
解：可知，由于求的是至少而不是最少，如果是最少，即为一棵树时边最少，即n-1=5。
先考虑5个结点，5个结点构成一个无向完全图，需要5×4/2=10条边，此时是连通的，
再加上一个顶点，只需加上1条边，即可与该无向完全图连通，即需要10+1=11条边。

例、一个具有28条边的非连通无向图至少有________个顶点。
解：考虑为由一个含有n个顶点的无向完全图和一个单独的顶点构成非连通无向图，
无向完全图中共n(n-1)/2条边，n(n-1)/2=28，
即为n=8最大边数，这样结点数最少，再加上单独的一个顶点故至少有8+1=9个顶点。

• ✨若一个无向图为连通图，则其连通分量只有一个，为该图自身，而非连通的无向图可以有多个连通分量。

例如下面，这是一个非连通的无向图G，并不是任意两个结点都是连通的：

可知该无向图有两个连通分量G1、G2：

2、强连通图、强连通分量（对于有向图）

在一个有向图中，任意两个不同的顶点都存在相互之间的路径，则称为强连通图，其中任意顶点到其他顶点都有路径，但不一定有弧；同样，有向图的极大强连通子图称为强连通分量。
另外，有向完全图一定是强连通图，但强连通图不一定是有向完全图，因为有向完全图中每个顶点都有互相相反的两条弧连接。

• ✨一个含有n个顶点的有向强连通图，当构成一个回路时图中边数最少，有n条边（如下）；当为有向完全图时图中边数最多，有n(n-1)条边（如上）。

• ✨若一个有向图为强连通图，则其强连通分量只有一个，为该图自身，而非强连通的有向图可以有多个强连通分量。

例如下面，这是一个非强连通的有向图G，并不是任意两个结点都是连通的：

可知该有向图有两个连通分量G1、G2：

（四）稀疏图、稠密图

一个图G=（V，E），边的个数为e，n为顶点数，则当e2n，则称为稀疏图，反之则为稠密图。

四、生成树、生成森林

在一个连通图中，若该图的一个子图是一棵包含该图所有顶点的树，则称为该图的生成树，即包含图中所有结点的一个极小连通子图，另外若该图含有n个顶点，则生成树含有n-1条边。
在非连通图中，由于非连通的无向图可以有多个连通分量，连通分量的生成树可以构成一个该非连通图的生成森林。