• 线性规划（二）——数学模型样例

    文章目录

    描述

    • 线性规划的数学模型通常可以使用计算机求解，因此现实中的难点通常在于
      • 理解要解决的问题
      • 应该将什么作为决策变量？
      • 如何构建线性目标函数？
      • 约束条件有哪些，是否足够完善？
    • 通过大量的例子的练习，可以提高我们对于现实问题的分析能力，进而归纳总结
    • 注：先不要看解，最好自己思考出解，这是在磨砺抽象实际问题的能力

    例子一——供给、运输问题

    • 题目：
      • 某汽车企业，有三个汽车制造工厂A、B、C，四个销售中心D、E、F、G。汽车制造工厂和销售中心都在不同的位置，现需要将工厂生产出的汽车调运到销售中心售卖，运输会有不同的成本。将工厂生产数、销售中心预计销量、运输成本汇总后，统计如下图。我们应该如何制定调运方案，以节省运输成本？
    工厂\销售中心DEFG生产数（辆）
    A428720
    B764925
    C637115
    预计销售（辆）14161512
    • 解：
      • 由题意，我们可以直接设
        • A工厂运输到D销售中心的汽车数量为 x A D x_{AD} xAD​
        • A工厂运输到E销售中心的汽车数量为 x A E x_{AE} xAE​
        • ……
        • C工厂运输到G销售中心的汽车数量为 x C G x_{CG} xCG​
      • 则总运费为各汽车数量乘以运费后的和
        f = 4 x A D + 2 x A E + 8 x A F + 7 x A G + 7 x B D + 6 x B E + 4 x B F + 9 x B G + 6 x C D + 3 x C E + 7 x C F + x C G f=4x_{AD} + 2x_{AE} + 8x_{AF} + 7x_{AG} + 7x_{BD} + 6x_{BE} + 4x_{BF} + 9x_{BG} + 6x_{CD} + 3x_{CE} + 7x_{CF} + x_{CG} f=4xAD​+2xAE​+8xAF​+7xAG​+7xBD​+6xBE​+4xBF​+9xBG​+6xCD​+3xCE​+7xCF​+xCG​
      • 显然，
        • A、B、C各自运输到不同销售中心的汽车数据不能超过自己生产的总量
        • D、E、F、G销售中心收到汽车数量应大于预计销售量（这样才能满足销售需求）
      • 那么，我们可以得到数学模型如下
        max ⁡ { f = 4 x A D + 2 x A E + 8 x A F + 7 x A G + 7 x B D + 6 x B E + 4 x B F + 9 x B G + 6 x C D + 3 x C E + 7 x C F + x C G } s.t. x A D + x A E + x A F + x A G ≤ 20 x B D + x B E + x B F + x B G ≤ 25 x C D + x C E + x C F + x C G ≤ 15 x A D + x B D + x C D ≥ 14 x A E + x B E + x C E ≥ 16 x A F + x B F + x C F ≥ 15 x A G + x B G + x C G ≥ 12 x i j ≥ 0 , ( i = A , B , C ; j = D , E , F , G )
        max{f=4xAD+2xAE+8xAF+7xAG+7xBD+6xBE+4xBF+9xBG+6xCD+3xCE+7xCF+xCG}s.t.xAD+xAE+xAF+xAG≤20xBD+xBE+xBF+xBG≤25xCD+xCE+xCF+xCG≤15xAD+xBD+xCD≥14xAE+xBE+xCE≥16xAF+xBF+xCF≥15xAG+xBG+xCG≥12xij≥0,(i=A,B,C;j=D,E,F,G)" role="presentation" style="position: relative;">max{f=4xAD+2xAE+8xAF+7xAG+7xBD+6xBE+4xBF+9xBG+6xCD+3xCE+7xCF+xCG}s.t.xAD+xAE+xAF+xAG≤20xBD+xBE+xBF+xBG≤25xCD+xCE+xCF+xCG≤15xAD+xBD+xCD≥14xAE+xBE+xCE≥16xAF+xBF+xCF≥15xAG+xBG+xCG≥12xij≥0,(i=A,B,C;j=D,E,F,G)
        maxs.t.​{f=4xAD​+2xAE​+8xAF​+7xAG​+7xBD​+6xBE​+4xBF​+9xBG​+6xCD​+3xCE​+7xCF​+xCG​}xAD​+xAE​+xAF​+xAG​≤20xBD​+xBE​+xBF​+xBG​≤25xCD​+xCE​+xCF​+xCG​≤15xAD​+xBD​+xCD​≥14xAE​+xBE​+xCE​≥16xAF​+xBF​+xCF​≥15xAG​+xBG​+xCG​≥12xij​≥0,(i=A,B,C;j=D,E,F,G)​

    例子二——人力资源分配利用问题

    • 题目：
      • 某大型商场A，一周内每日有不同数量的顾客光临，需要销售员服务。同一销售员每周会连续工作5天，休息2天，销售员间需要排班。因为每天顾客数量不同，需要的销售员数量也不同（每日销售员需求量统计如下表），如果每天销售员数量一致，就会浪费人力成本。我们应当如何在满足商场的服务需求下，更少的配备销售员呢？
    时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日
    所需销售员数量12192518282728
    • 解：
      • 这个问题很难像前面的问题一样一眼看出来如何去构建模型
      • 首先，我们要明确目的：
        • 销售人员数量要满足商场每日的服务需求（这个是约束）
        • 让销售人员数量最少，降低成本（这个是目标）
      • 同时，我们还有个约束：同一销售员每周会连续工作5天，休息2天。我们需要对销售员进行排班。
      • 这个时候我们很难去定义决策变量，因为一个销售员不只工作一天，他们需要排班。我们先顺着题意思考一下，随便排班试试
        • 倘若销售员A在星期一开始上班，那么他会上星期一至星期五，休周六、周日
        • 倘若销售员B在星期二开始上班，那么他会上星期二至星期六，休周日、星期一
        • ……
      • 总结一下，也就是说，在同一天开始上班的人，会在同一天开始休息，那么我们可以
        • 把在星期一开始上班的人抽象为一个群体，设为 x 1 x_1 x1​
        • 把在星期二开始上班的人抽象为一个群体，设为 x 2 x_2 x2​
        • ……
        • 把在星期日开始上班的人抽象为一个群体，设为 x 7 x_7 x7​
      • 显然 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7 x1​,x2​,x3​,x4​,x5​,x6​,x7​构成了所有的销售人员，也就是说销售人员总数
        f = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 f=x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 f=x1​+x2​+x3​+x4​+x5​+x6​+x7​
      • 我们的目标就是使 f f f最小化
      • 下面来看约束条件。因为同一销售员每周会连续工作5天，休息2天，那么我们可以知道
        • 周一的人数为 x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 x_1 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 x1​+x4​+x5​+x6​+x7​，商场需要至少12人
        • 周二的人数为 x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 x_1 + x_2 + x_5 + x_6 + x_7 x1​+x2​+x5​+x6​+x7​，商场需要至少19人
        • ……
      • 根据上面的目标函数、约束条件，我们可以得到数学模型如下：

    max ⁡ { f = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 } s.t. x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 12 x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 19 x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 ≥ 25 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 ≥ 18 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 28 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≥ 27 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 28 x j ≥ 0 , ( j = 1 , 2 , . . . , 7 )

    max{f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7}s.t.x1+x4+x5+x6+x7≥12x1+x2+x5+x6+x7≥19x1+x2+x3+x6+x7≥25x1+x2+x3+x4+x7≥18x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥27x3+x4+x5+x6+x7≥28xj≥0,(j=1,2,...,7)" role="presentation" style="position: relative;">max{f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7}s.t.x1+x4+x5+x6+x7≥12x1+x2+x5+x6+x7≥19x1+x2+x3+x6+x7≥25x1+x2+x3+x4+x7≥18x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥27x3+x4+x5+x6+x7≥28xj≥0,(j=1,2,...,7)
    maxs.t.​{f=x1​+x2​+x3​+x4​+x5​+x6​+x7​}x1​+x4​+x5​+x6​+x7​≥12x1​+x2​+x5​+x6​+x7​≥19x1​+x2​+x3​+x6​+x7​≥25x1​+x2​+x3​+x4​+x7​≥18x1​+x2​+x3​+x4​+x5​≥28x2​+x3​+x4​+x5​+x6​≥27x3​+x4​+x5​+x6​+x7​≥28xj​≥0,(j=1,2,...,7)​

    例子三（待编辑）

    例子四（待编辑）

    例子五（待编辑）

  • 相关阅读:
    二叉树【树的基本概念】
    小发猫物联网平台搭建与应用模型
    小红书关键词爬虫
    Spring Boot 之开发注册功能
    一文教你搞懂Go中栈操作
    干货很干：5个有效引流方法，让客户找上门
    OpenResty“更好更灵活的 Nginx”，这份OpenResty开发指南你值得拥有
    新手必看：Bitget Wallet 上购买 ETH 的步骤解析
    瑞士奢侈手表制造商百年灵现在接受比特币
    在线订餐管理系统
  • 原文地址：https://blog.csdn.net/alionsss/article/details/126238300