形象的说，一个关系就是一个Table。关系模型就是处理Table的，它由三个部分组成：
- 描述DB各种数据基本结构形式Table/Relation
- 描述Table与Table之间所可能发生的各种操作（关系运算）
- 描述这些操作所应遵循的约束条件（完整性约束）
关系模型的三个要素：
- 基本结构：Relation/Table
- 基本操作：关系运算（基本的：并、差、积、选择、投影；扩展的：交、连接、除。）
- 完整性约束：实体完整性、参照完整性和用户自定义完整性。
关系模型一般以集合为单位操作，非关系模型一般以记录为单位操作。
关系的定义：
表（Table）：
- 首先定义“列”的取值范围是“域”。
- 再定义行“元组”及所有可能组合成的元组：笛卡尔积（每个列的取值的组合）。
关系：一组域的笛卡尔积的子集（有意义组合的子集）。笛卡尔积中具有某一方面意义的那些元组被称作一个关系（Relation）。由于关系的不同列可能来自同一个域，为区分，需要为每一列起一个属性名。
关系的特性：
- 列是同质的：即每一列中的分量来自同一个域，是统一类型的数据。
- 不同的列可来自同一个域，称其中每一列为一个属性，不同的属性要给予不同的属性名。
- 列位置互换性：区分那一列是靠列名。
- 行位置互换性：区分哪一行是靠某一或某几列的值（关键字/键字/码字）。
理论上，关系的任意两个元组不能完全相同（数学定义上的规范）；现实应用中，表（Table）可能存在两个完全相同的元组。
关系第一范式：属性不可再分（不允许复合属性和多值属性）；
候选码/候选键：关系中的一个属性组，其值能够唯一标识一个元组，若从该属性组中去掉任何一个属性，它就不具有这一性质了，这样的属性组称作候选码。
主码/主键：当有多个候选码时，可以选定一个作为主码。
主属性与非主属性：
- 包含在任何一个候选码中的属性被称作为主属性，而其他属性被称作非主属性。
- 最简单的，候选码只包含一个属性。
- 最极端的，所有属性构成这个关系的候选码，称为全码。
外码/外键：
- 关系R中的一个属性组，他不是R的候选码，但是它是另一个关系S的候选码相对应，则称这个属性组为R的外码或外键。
- 两个关系通常是靠外码连接起来的。
基于集合，提供了一系列的关系代数操作：并、差、笛卡尔积（广义积）、选择、投影和更名等基本操作。
以及交、连接和关系除等扩展操作，是一种集合思维的操作语言。
关系代数操作以一个或多个关系位输入，结果是一个新的关系。
用对关系的运算来表达查询，需要指明所用操作，具有一定的过程性。
是一种抽象语言，是学习其他数据库语言，如SQL等的基础。
关系代数操作：集合操作和纯关系操作
- 集合操作：并、交、差、笛卡尔积。
- 纯关系操作：投影、选择、连接、除。
定义：参与运算的两个关系及其相关属性之间有一定的相对性、可比性或意义关联性。
关系R和关系S存在相容，当且仅当：
- 关系R和关系S的属性数目必须相同；
- 对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同。
定义：假设关系R和关系S是相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，它是由或者出现在关系R中，或者出现在S中的元组构成。并运算是将两个关系的元组合并成一个关系，在合并时去掉重复的元组。
定义：假设关系R和关系S是相容的，则关系R与关系S的差运算结果也是一个关系，它是由或者出现在关系R中但是不出现在S中的元组构成。差运算是不满足交换律的。
定义：关系R与关系S的广义笛卡尔积运算的结果也是一个关系，它是由关系R中的元组与关系S的元组进行所有可能的拼接（或串接）构成。两个关系元组的组合。
定义：给定一个关系R，同时给定一个选择的条件condition（简记con），选择运算结果也是一个关系，它从关系R中选择除满足给定条件condition的元组构成。
选择操作从给定的关系中选出满足条件的行。
注意条件符号的运算优先级。
定义：给定一个关系R，投影运算结果是一个关系，它从关系R中选出属性包含在A中的列构成。
定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的交运算结果也是一个关系，它由同时出现在关系R和关系S中的元组构成。
投影与选择操作只是对单个关系（表）进行操作，而实际应用中往往涉及多个表之间的操作，这就需要 Θ \Theta Θ - 连接操作。
定义：给定关系R和关系S，R与S的 θ \theta θ连接运算结果也是一个关系，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R中属性A与S中属性B之间满足 θ \theta θ条件的元组组成。这里要求属性A和属性B具有可比性，其中 θ \theta θ为比较条件。
定义：给定关系R和关系S，R与S的等值连接运算结果也是一个关系，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R中属性A与S中属性B上值相等的元组所构成。即当 Θ \Theta Θ - 连接中的规则为“=”时，就为等值连接。
定义：给定关系R和关系S，R与S的自然连接运算结果也是一个关系，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R同属性组B上值相等的元组所构成。其本质上一种特殊的等值连接，连接后去除一组重复的属性。
定义：两个关系R与S进行连接时如果R（或S）中的元组在S（或R）中早不到相匹配的元组，则为避免该元组信息丢失，从而将该元组与S（或R）中假定存在的全为空值的元组形成连接，放置在结果关系中，这种连接称之为外连接（Outer-Join）。
外连接=自然连接（或 θ \theta θ连接）+=失配的元组（与空元组形成的连接）。
外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接：
- 左外连接=自然连接（或 θ \theta θ连接）+=左侧表中失配的元组。
- 右外连接=自然连接（或 θ \theta θ连接）+=右侧表中失配的元组。
- 全外连接=自然连接（或 θ \theta θ连接）+=两侧表中失配的元组。
即将表的表名更改，通常使用在自连接操作中。
除法运算经常用于求解 “查询…全部的/所有的…” 问题。
前提条件：给定关系R为n度关系与关系S为m度关系的除运算，当且仅当：S属性集是R属性集的真子集时，关系R才能与关系S进行除法运算，其运算结果也是一个关系，其结果分为两部分如下：
- 属性：属性为关系R的属性去除关系S的属性。
- 值：所得结果的关系与关系S的笛卡尔积的所有元组必须都能在关系R中找到。
关系演算是以数理逻辑中的谓词演算为基础的。
关系演算是描述关系运算的一种思维方式。
SQL语言是继承了关系代数和关系演算各自的优点所形成的。
按照谓词变量（操作对象）不同，可分为关系元组演算和关系域演算。
基本形式： { t ∣ P ( t ) } \{t|P(t)\} {t∣P(t)} ，上式表示：所有使谓词P为真的元组t的集合。
- t是元组变量；
- t ∈ \in ∈ R表示元组t在关系R中；
- t[A]表示元组t的分量，即t在属性A上的值；
- P是谓词逻辑相似的公式，P(t)表示以元组t为变量的公式
P(t)可以如下递归地进行定义：
(1) s ∈ R s\in R s∈R ;
(2) s [ A ] θ c s[A]\;\theta\; c s[A]θc ;
(3) s [ A ] θ u [ B ] s[A]\;\theta\; u[B] s[A]θu[B] 。
元组演算公式与关系代数对比应用例子：
题目：
已知：学生关系：Student(S#, Sname, Sage, Ssex, Sclass)
课程关系：Course(C#, Cname, Chours, Credit, Tname)
选课关系：SC(S#, C#, Score)
（1）求学过李明老师讲授所有课程地学生姓名（全都学过）
π S n a m e ( π S n a m e , C # ( S ⋈ S C ⋈ C ) ÷ π C # ( σ T n a m e = " 李明 " ( C ) ) ) \pi_{Sname}(\pi_{Sname,C\#}(S \Join SC \Join C) \div \pi_{C\#}(\sigma_{Tname="李明"}(C))) πSname(πSname,C#(S⋈SC⋈C)÷πC#(σTname="李明"(C)))
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 35: …\forall (u\in C\̲a̲n̲d̲ ̲u[Tname]="李明")(…
（2）求没学过李明老师讲授任意一课程地学生姓名（全没学过）
π S n a m e − π S n a m e ( σ T n a m e = " 李明 " ( S ⋈ S C ⋈ C ) ) \pi_{Sname}-\pi_{Sname}(\sigma_{Tname="李明"}(S\Join SC\Join C)) πSname−πSname(σTname="李明"(S⋈SC⋈C))
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 18: …t[Sname]|t\in S\̲a̲n̲d̲\;\forall(u\in …
（3）求至少学过一门李明老师讲授课程地学生姓名（至少学过一门）
π S n a m e ( σ T n a m e = " 李明 " ( S ⋈ S C ⋈ C ) ) \pi_{Sname}(\sigma_{Tname="李明"}(S\Join SC\Join C)) πSname(σTname="李明"(S⋈SC⋈C))
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 18: …t[Sname]|t\in S\̲a̲n̲d̲\exists(u\in SC…
（4）求至少有一门李明老师坚守课程没有学过的学生姓名（至少有一门没学过）
π S n a m e − π S n a m e ( π S n a m e , C # ( S ⋈ S C ⋈ C ) ÷ π C # ( σ T n a m e = " 李明 " ( C ) ) ) \pi_{Sname}-\pi_{Sname}(\pi_{Sname,C\#}(S \Join SC \Join C) \div \pi_{C\#}(\sigma_{Tname="李明"}(C))) πSname−πSname(πSname,C#(S⋈SC⋈C)÷πC#(σTname="李明"(C)))
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 36: …exists (u\in C\̲a̲n̲d̲ ̲u[Tname]="李明")(…
公式基本形式：
{
<
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
>
∣
P
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
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}
\{
P(t)可以如下递归地进行定义：