矩阵分析与应用-16-广义逆矩阵

矩阵分析与应用-16-广义逆矩阵

目录

左逆矩阵与右逆矩阵

广义逆矩阵的定义及性质

广义逆矩阵的计算

矩阵的满秩分解算法

广义逆矩阵的计算

一致方程的最小范数解

非一致方程的最小二乘解

左逆矩阵与右逆矩阵

满足，但不满足的矩阵称为矩阵的左逆矩阵(left inverse)。

满足，但不满足的矩阵称为矩阵的右逆矩阵(right inverse)o

仅当 $m \leq n$ 时，矩阵 $A \in C^{m\times n}$ T可能有右逆矩阵。

广义逆矩阵的定义及性质

线性方程 $A_{m\times n}x_{n\times 1}=y_{m \times 1}$ 称为一致方程，若矩阵的行之间存在的线性关系也存在于向量的对应元素中。

令是一个m x n矩阵，具有任意秩。矩阵的广义逆矩阵是-个n x m矩阵G，并使得当为一致方程时，是线性方程的解。

一致方程对y≠0有解，当且仅当AGA = A。

m × n矩阵A的广义逆矩阵是一个满足

的nx m矩阵。

m x n矩阵A的广义逆矩阵是满足下列条件之一的n × m 矩阵

(1)为幂等矩阵，且 rank(.) rank():

(2)是幂等矩阵，且rank() =rank()。

性质：

方程的解与矩阵的任意行正交，并且线性无关。

$A^{-}$ 存在 $\Leftrightarrow AA^-A=A$

定理1：一线性方程组可以求解，当且仅当这些方程为一致方程。

定理2：线性方程是一致的，当且仅当增广矩阵的秩等于矩阵 $A_{m\times n}$ 的秩，即。

广义逆矩阵的计算

令 $A_{m\times n}$ 具有秩r。若，其中， $F_{m \times r}$ 的秩为r (满列秩矩阵)，且 $G_{r\times n}$ 的秩也为r(满行秩矩阵)，则称为矩阵A的满秩分解(full-rank decomposition)。

一个秩为r的mx n矩阵A可以分解为

$A=K_{m\times r}L_{r\times n}$

式中，K和L分别具有满列秩和满行秩。

若矩阵 $A_{m\times n}$ 具有秩r，且其满秩分解为，其中， $F_{m \times r}$ 为满列秩 $G_{r\times n}$ 为满行秩，则

$A^{-}=G^T(F^TAG^T)^{-1}F^T$

是的一个广义逆矩阵。

矩阵的满秩分解算法

1.利用行初等变换将矩阵A化为阶梯型

$A\xrightarrow[E_1]{}[]\xrightarrow[E_2]{}...\xrightarrow[E_k]{}\begin{bmatrix} G_{r\times n}\\ O_{(m-r)\times n} \end{bmatrix}$

2.对单位矩阵执行逆行初等变换,得到逆矩阵

$I\xrightarrow[E_k^{-1}]{}[ ]\xrightarrow[E_{k-1}^{-1}]{}....\xrightarrow[E_1^{-1}]{}[]=P^{-1}$

3.利用逆矩阵 $P^{-1}$ 的前r列构造矩阵F。

4.书写满秩分解结果。

广义逆矩阵的计算

1.计算矩阵 $A_{m\times n}$ 的满秩分解。

2.求广义逆矩阵 $A^{-}=G^T(F^TAG^T)^{-1}F^T$ 。

一致方程的最小范数解

令n x m 矩阵是m×n矩阵的任意一个广义逆矩阵，则

(1)齐次方程的一个通解为,其中，z是n×1任意向量。

(2非齐次方程为-致方程的充分必要条件是

(3）非齐次方程Aa = g 的一个通解为

式中，z为n×1任意向量。

伴随矩阵具有以下性质

（1） $(A^\#)^\#=A$

（2） $(AB)^\#=B^\#A^\#$

（3） $<Ax,By>=0,\forall x,y\Leftrightarrow A^\#B=O$

（4） $A^\#=A^T$ (若A为实矩阵)或 $A^\#=A^H$ (若A为复矩阵)

是一致方程的最小范数解，当且仅当

$AGA=A,(GA)^\#=GA$

非一致方程的最小二乘解

令G是某个矩阵，则 $\hat{x}=Gy$ 是非一致方程的最小二乘解，当且仅当

$A^\#AG=A^\#$

或

$AGA=A,(AG)^\#=AG$
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原文地址：https://blog.csdn.net/Xiao__fly/article/details/126234564

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