• (六)算法基础——动态规划


    目录

    前言

    引例

    数字三角形

    解题思路

    特点

    例题

    最长上升子序列

    公共子序列


    前言

    第一次接触动态规划,为了更好的理解,我们首先从一道例题来讲起。

    引例

    数字三角形

    • 题目

     

            在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径,使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可,不必给出具体路径。三角形的行数大于1小于等于100,数字为 0 - 99

    • 输入格式

    5 //三角形行数。下面是三角形

    7

    3 8

    8 1 0

    2 7 4 4

    4 5 2 6 5

    • 输出

    最大和(30)

    解题思路

            首先,比较容易想到两种解法,一种是自顶向下,还有一种就是自底向上,自顶向上,就可以使用递归来实现,而自底向上则可以使用递推来实现,我们首先来介绍一下自顶向下的解法。

    自顶向下

    1. #include
    2. #define MAX 101
    3. #define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
    4. int D[MAX][MAX];
    5. int n;
    6. int MaxSum(int i, int j){
    7. if(i==n)
    8. return D[i][j];
    9. int x = MaxSum(i+1,j);
    10. int y = MaxSum(i+1,j+1);
    11. return max(x,y)+D[i][j];
    12. }
    13. int main(){
    14. int i,j;
    15. scanf("%d", &n);
    16. for(i=1;i<=n;i++)
    17. for(j=1;j<=i;j++)
    18. scanf("%d", &D[i][j]);
    19. printf("%d",MaxSum(1,1));
    20. }

            使用递归实现,用二维数组存放数字三角形,然后依次递归就好了。看起来这个代码没什么问题,但如果数据过大,就会超时,原因是什么呢?我们来看看!

    当我们看这个图的时候,就大概知道了,答案是重复计算 。有一些数据被重复计算了,导致时间复杂度达到了2^n。所以我们优化一下。

    动规改进

    1. #include
    2. #define MAX 101
    3. #define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
    4. int D[MAX][MAX];
    5. int n;
    6. int maxSum[MAX][MAX];
    7. int MaxSum(int i, int j){
    8. if( maxSum[i][j] != -1 )
    9. return maxSum[i][j];
    10. if(i==n)
    11. maxSum[i][j] = D[i][j];
    12. else{
    13. int x = MaxSum(i+1,j);
    14. int y = MaxSum(i+1,j+1);
    15. maxSum[i][j] = max(x,y)+D[i][j];
    16. }
    17. return maxSum[i][j];
    18. }
    19. int main(){
    20. int i,j;
    21. scanf("%d", &n);
    22. for(i=1;i<=n;i++)
    23. for(j=1;j<=i;j++) {
    24. scanf("%d", &D[i][j]);
    25. maxSum[i][j] = -1;
    26. }
    27. printf("%d",MaxSum(1,1));
    28. }

            我们采用的方法是每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来,下次用到其值的时候直接取用,则可免去重复计算。那么可以用O(n2 )时间完成计算。


    自底向上

            自底向上的解法也比较清晰,算出上一行到下一行的最大距离,一直往上递推,就能得到最后的答案,如下图所示。

    1. #include
    2. #define MAX 101
    3. #define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
    4. int D[MAX][MAX];
    5. int n;
    6. int maxSum[MAX][MAX];
    7. int main() {
    8. int i,j;
    9. scanf("%d", &n);
    10. // 输入
    11. for(i=1;i<=n;i++)
    12. for(j=1;j<=i;j++)
    13. scanf("%d", &D[i][j]);
    14. for( i = 1;i <= n; ++ i )
    15. maxSum[n][i] = D[n][i];
    16. for( i = n-1; i>= 1; --i )
    17. for( j = 1; j <= i; ++j )
    18. maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j] ;
    19. printf("%d",maxSum[1][1]);
    20. }

    空间优化

            空间优化,就是不再使用二维数组,而是一维数组来存储数据,因为使用二维数组存储的数据都没什么用,做的绝一点,直接用二维数组的最后一行来用,这样就能节省空间。

    1. #include
    2. #define MAX 101
    3. #define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
    4. int D[MAX][MAX];
    5. int n;
    6. int * maxSum;
    7. int main() {
    8. int i,j;
    9. scanf("%d", &n);
    10. // 输入
    11. for(i=1;i<=n;i++)
    12. for(j=1;j<=i;j++)
    13. scanf("%d", &D[i][j]);
    14. maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
    15. for( i = n-1; i>= 1; --i )
    16. for( j = 1; j <= i; ++j )
    17. maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j] ;
    18. printf("%d",maxSum[1]);
    19. }

    解题思路

    1. 将原问题分解为子问题

    • 把原问题分解为若干个子问题,子问题和原问题形式相同或类似,只不过规模变小了。子问题都解决,原问题即解决(数字三角形例)。
    • 子问题的解一旦求出就会被保存,所以每个子问题只需求解一次。

    2. 确定状态

    • 在用动态规划解题时,我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值,称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题, 所谓某个“状态”下的“值”,就是这个“状态”所对应的子问题的解。
    • 所有“状态”的集合,构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小,与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里,一共有N×(N+1)/2个数字,所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
    • 整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。
    • 在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次,且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

    3. 确定一些初始状态(边界状态)的值

    • 以“数字三角形”为例,初始状态就是底边数字,值就是底边数字值。

    4. 确定状态转移方程

    • 定义出什么是“状态”,以及在该 “状态”下的“值”后,就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”,求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状 态的迁移可以用递推公式表示,此递推公式也可被称作“状态转移方 程”。
    •  数字三角形的状态转移方程:

    特点

    • 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质。
    • 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定,则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关,和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态,没有关系。
    • 个人浅显的理解,动态规划与递归有相似的地方,但其特点就是将子问题的答案记录下来。然后根据子问题去求解原问题。

    例题

    最长上升子序列

    • 题目

            一个数的序列ai,当a1 < a2 < ... < aS的时候,我们称这个序 列是上升的。对于给定的一个序列(a1 , a2 , ..., aN),我们可以得到 一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK),这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如,对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),有它的一些上升子 序列,如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4,比 如子序列(1, 3, 5, 8). 你的任务,就是对于给定的序列,求出最长上升子序列的长度。

    • 输入数据

            输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给 出序列中的N个整数,这些整数的取值范围都在0到10000。

    • 输出要求

    最长上升子序列的长度。

    • 输入样例

    7

    1 7 3 5 9 4 8

    • 输出样例

    4

    解题思路

            我们采用的方法就是判断数组中每一个最长上升子序列,并且将其记录到一个数组里,在最后去找出这个数组里最大的数就行。

    1. #include
    2. #define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
    3. #define MAXN 1010
    4. int a[MAXN];
    5. int maxLen[MAXN];
    6. int Max (int a[],int n){
    7. int max = 0,i;
    8. for(i = 0; i
    9. {
    10. if(a[i]>max)
    11. max = a[i];
    12. }
    13. return max;
    14. }
    15. int main() {
    16. int N,i,j;
    17. scanf("%d", &N);
    18. for(i = 1;i <= N;++i) {
    19. scanf("%d", &a[i]) ;
    20. maxLen[i] = 1;
    21. }
    22. for(i = 2; i <= N; ++i) {
    23. //每次求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
    24. for(j = 1; j < i; ++j)
    25. //察看以第j个数为终点的最长上升子序列
    26. if( a[i] > a[j] )
    27. maxLen[i] = max(maxLen[i],maxLen[j]+1);
    28. }
    29. printf("%d", Max(maxLen,N));
    30. return 0;
    31. } //时间复杂度O(N2)

    公共子序列

    • 题目

            给出两个字符串,求出这样的一个最长的公共子序列的长度:子序列中的每个字符都能在两个原串中找到,而且每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。

    • 输入样例

    abcfbc abfcab

    programming contest

    abcd mnp

    • 输出样例

    4

    2

    0

    解题思路

            本题和上面的题目有点类似,都是最长子序列。但却不完全相同,首先我们看一下初始状态

    1. MaxLen(n,0) = 0 ( n= 0…len1)
    2. MaxLen(0,n) = 0 ( n=0…len2)

    递推公式

    1. if ( s1[i-1] == s2[j-1] ) //s1的最左边字符是s1[0]
    2. MaxLen(i,j) = MaxLen(i-1,j-1) + 1;
    3. else
    4. MaxLen(i,j) = Max(MaxLen(i,j-1),MaxLen(i-1,j) );

    证明

     

     

    1. #include
    2. #include
    3. #define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
    4. char s1[1000];
    5. char s2[1000];
    6. int maxLen[1000][1000];
    7. int main() {
    8. while( scanf("%s", &s1) && scanf("%s", &s2) ) {
    9. int length1 = strlen( s1);
    10. int length2 = strlen( s2);
    11. int nTmp;
    12. int i,j;
    13. for( i = 0;i <= length1; i ++ )
    14. maxLen[i][0] = 0;
    15. for( j = 0;j <= length2; j ++ )
    16. maxLen[0][j] = 0;
    17. for( i = 1;i <= length1;i ++ ) {
    18. for( j = 1; j <= length2; j ++ ) {
    19. if( s1[i-1] == s2[j-1] )
    20. maxLen[i][j] = maxLen[i-1][j-1] + 1;
    21. else
    22. maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j-1], maxLen[i-1][j]);
    23. }
    24. }
    25. printf("%d\n", maxLen[length1][length2]);
    26. }
    27. return 0;
    28. }
            好了,关于动态规划先介绍这些,后续的再慢慢介绍。
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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/weixin_66578482/article/details/126205909