拉格朗日乘子法

描述

• 线性规划（一）——基本概念中“汽车工厂的生产、盈利”的数学模型较为简单，可以采用图解法。
• 但当目标函数、约束条件较为复杂时，将难以作图求解。
• 这个时候，我们可以采用“拉格朗日乘子法”。

拉格朗日乘子法的定义

• 定义
  • 令$f(x,y)\in C^{‘}$（即一阶可导），且$(x_0,y_0)$是满足$g(x,y)=0$时，$f(x,y)$的极值
  • 限定$g(x,y)\in C^{‘}$，且$g(x_0,y_0)$的梯度不等于$\vec{o}$
  • 则存在$\lambda \in \mathbb{R}$，使得
    { f ( x ) ‘ + λ g ( x ) ‘ = 0 f ( y ) ‘ + λ g ( y ) ‘ = 0 g ( x 0 , y 0 ) = 0
    {f(x)‘+λg(x)‘=0f(y)‘+λg(y)‘=0g(x0,y0)=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨⎪⎪f(x)‘+λg(x)‘=0f(y)‘+λg(y)‘=0g(x0,y0)=0$$\{\begin{array}{l}f(x{)}^{‘}+\lambda g(x{)}^{‘}=0\\ f(y{)}^{‘}+\lambda g(y{)}^{‘}=0\\ g(x_0,y_0)=0\end{array}$$
    ⎩ ⎨ ⎧​f(x)‘+λg(x)‘=0f(y)‘+λg(y)‘=0g(x0​,y0​)=0​
• 同样的，对于三元函数，乃至多元函数，都是成立的。关于三元函数的式子如下
  { f ( x ) ‘ + λ g ( x ) ‘ = 0 f ( y ) ‘ + λ g ( y ) ‘ = 0 f ( z ) ‘ + λ g ( z ) ‘ = 0 g ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0
  {f(x)‘+λg(x)‘=0f(y)‘+λg(y)‘=0f(z)‘+λg(z)‘=0g(x0,y0,z0)=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪f(x)‘+λg(x)‘=0f(y)‘+λg(y)‘=0f(z)‘+λg(z)‘=0g(x0,y0,z0)=0$$\{\begin{array}{l}f(x{)}^{‘}+\lambda g(x{)}^{‘}=0\\ f(y{)}^{‘}+\lambda g(y{)}^{‘}=0\\ f(z{)}^{‘}+\lambda g(z{)}^{‘}=0\\ g(x_0,y_0,z_0)=0\end{array}$$
  ⎩ ⎨ ⎧​f(x)‘+λg(x)‘=0f(y)‘+λg(y)‘=0f(z)‘+λg(z)‘=0g(x0​,y0​,z0​)=0​
• 一般我们通过对于上面式子的分析、计算，就可以得到$f(x,y)$的极值和极值点$(x_0,y_0)$

例子

• 题目：求$f(x,y)=x^2-y^2-2y$在$x^2+y^2=1的条件下的极大值、极小值$
• 解
  • 由题意，显然 $g(x,y)=x^2+y^2-1$
  • $f(x,y)$与$g(x,y)$都存在一阶导数，分别计算其一阶导数可得
    • $f_x^{‘}=2x$，$f_y^{‘}=-2y-2$
    • $g_x^{‘}=2x$，$g_y^{‘}=2y$
  • 根据拉格朗日乘子法可得
    { 2 x + λ ∗ 2 x = 0 ( − 2 y − 2 ) + λ ∗ 2 y = 0 x 2 + y 2 − 1 = 0
    {2x+λ∗2x=0(−2y−2)+λ∗2y=0x2+y2−1=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨2x+λ∗2x=0(−2y−2)+λ∗2y=0x2+y2−1=0$$\{\begin{array}{l}2x+\lambda \ast 2x=0\\ (-2y-2)+\lambda \ast 2y=0\\ x^2+y^2-1=0\end{array}$$
    ⎩ ⎨ ⎧​2x+λ∗2x=0(−2y−2)+λ∗2y=0x2+y2−1=0​
  • 整理后
    { x ( 1 + λ ) = 0 y ( λ − 1 ) − 1 = 0 x 2 + y 2 − 1 = 0
    {x(1+λ)=0y(λ−1)−1=0x2+y2−1=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨x(1+λ)=0y(λ−1)−1=0x2+y2−1=0$$\{\begin{array}{l}x(1+\lambda )=0\\ y(\lambda -1)-1=0\\ x^2+y^2-1=0\end{array}$$
    ⎩ ⎨ ⎧​x(1+λ)=0y(λ−1)−1=0x2+y2−1=0​
  • 由于$x(1+\lambda )=0$，那么$x$只能为$0$或不为$0$，现在开始讨论
    • 当$x\ne 0$时，计算上式可得：$\lambda =-1$，$y=-\frac{1}{2}$，$x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
    • 当$x=0$时，计算上式可得：$y=\pm 1$，$x=0$
  • 将$x$、$y$的值代入计算$g(x_0,y_0)$的梯度$(2x,2y)$，结果都不等于$\vec{o}$。因此上述$x$、$y$的值皆满足条件。
  • 将$x$、$y$的值分别代入$f(x,y)$可得
    • $f(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$
    • $f(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$
    • $f(0,1)=-3$
    • $f(0,-1)=1$
  • 显然
    • 当$x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2},y=-\frac{1}{2}$时，$f(x,y)$取得极大值$\frac{3}{2}$
    • 当$x=0,y=1$时，$f(x,y)$取得极小值$-3$