二. 一元函数积分学

基本概念

微积分：一元函数微积分 和 多元函数微积分

不定积分：求所有的原函数，所以求得的原函数通常要加个常数C

定积分和反常积分：若出现了∞或者闭区间内没有定义的点，且极限为无穷，就是反常积分，反之定积分。

方法

不定积分

• 凑微分法
• 换元法
• 分部积分法

不定积分的计算

1. 公式法：善用17个 不定积分常见的等式 +12 三角函数公式

2. 移动法：将dx左侧部分积到右侧（想想什么求导等于左侧）（也可以逆向）

3. 分部积分法：适用于被积函数是两项相乘的形式（反对幂指三）

   • 不定积分udv = uv - 不定积分vdu
   • 优先级：指三幂对反。谁在前面移谁
   • 注意转化： lnx dx = lnx * lne dx = lnx * x的0次方 dx
   • 注意三角函数可能需要连续用两次建立方程。

4. 凑分母法：把分子凑成和分母一样

   • 适用条件：
     • 被积函数是一个分数
     • 分母是两项相加减的形式
     • 分子是分母的其中一项

5. 换元法

   • 适用条件：只要含根号，就可以用！
     
     只要使用了方法五，开除根号后，必为正。
   • 若 x = sect ,还原后，不可使得t = arcsecx 代入最后结果（使得三角函数里面嵌套一个反三角函数）。需要自己在草稿上画一个三角形，自己去找关系。

6. 万能公式法

   • 适用类型：被积函数中只含数字和三角函数。

   • 可以使用，但是不一定是最简单的方法。

   • 令t = tan x/2
     1. 对分母求导法

   • 适用题型：
     $$\frac{Dx+E}{A{x}^2+Bx+C}$$

   • 对分母求导，然后将分子改写成分母的导数，前面缺什么乘什么，后面缺什么加减什么。

定积分的计算

• f(x)在[a,b]连续，则定积分存在
• f(x)在[a,b]有界且有限个间断点，则定积分存在
• 先计算对应的不定积分，然后代入积分的上限和下限并作差。

曲面面积

若是曲线方程，将其近似看作是扇形，1/2 * 长度的平方 * 角度

换元必换上下限 ！

反常积分的计算

开区间中不存在 没定义的点 => 直接算
开区间中存在 没定义的点 => 分段

定积分的应用

这是一个分解dS或者dV的过程。

求面积 + 旋转轴体积，注意空壳的体积，实际上是两个实心的面积差。

求含绝对值的定积分和反常积分

去绝对值前先判断是否需要分段。
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