线性代数学习笔记6-3：行列式的计算、代数余子式

下面介绍两种行列式的计算方法

根据基本性质计算行列式

之前说过三个基本性质：

1. 单位阵的$det(\mathbf{I})=1$
2. 交换行列式的两行，行列式正负反号
3. 关于“线性性质”
   ①矩阵某一行元素乘以k，行列式变为k倍： ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \left|
   tatbcd" role="presentation" style="position: relative;">tactbd$$\begin{array}{cc}ta& tb\\ c& d\end{array}$$
   \right|=t\left|
   abcd" role="presentation" style="position: relative;">acbd$$\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}$$
   \right| ∣ ∣​tac​tbd​∣ ∣​=t∣ ∣​ac​bd​∣ ∣​
   ②行列式的“行”有线性性（强调一行，而非整个行列式有线性性）： ∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ \left|
   a+a′b+b′cd" role="presentation" style="position: relative;">a+a′cb+b′d$$\begin{array}{cc}a+a^{\mathrm{\prime }}& b+b^{\mathrm{\prime }}\\ c& d\end{array}$$
   \right|=\left|
   abcd" role="presentation" style="position: relative;">acbd$$\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}$$
   \right|+\left|
   a′b′cd" role="presentation" style="position: relative;">a′cb′d$$\begin{array}{cc}{a}^{\mathrm{\prime }}& b^{\mathrm{\prime }}\\ c& d\end{array}$$
   \right| ∣ ∣​a+a′c​b+b′d​∣ ∣​=∣ ∣​ac​bd​∣ ∣​+∣ ∣​a′c​b′d​∣ ∣​

由此，一般$n\times n$行列式的计算，可以拆分为$n^n$个[含有$n$个非零元素]的行列式（这些行列式通过行交换，可以轻易计算出其值，就是所有对角线元素相乘，最多需要前面添一个负号）

具体而言，由性质3②，先是拆分第一行（得到$n$个行列式），在拆分第二行（之前的每个行列式又拆分出$n$个行列式）…

例如：
∣ a b c d ∣ = ∣ a 0 c d ∣ + ∣ 0 b c d ∣ = ∣ a 0 c 0 ∣ + ∣ a 0 0 d ∣ + ∣ 0 b c 0 ∣ + ∣ 0 b 0 d ∣ = 0 + a d − b c + 0 = a d − b c

∣ ∣​ac​bd​∣ ∣​​=∣ ∣​ac​0d​∣ ∣​+∣ ∣​0c​bd​∣ ∣​=∣ ∣​ac​00​∣ ∣​+∣ ∣​a0​0d​∣ ∣​+∣ ∣​0c​b0​∣ ∣​+∣ ∣​00​bd​∣ ∣​=0+ad−bc+0=ad−bc​

提炼一般规律：最终分解后，有全零行/全零列的行列式都必然为0，故拆分时只需要关注「每行/每列都有非零元素」的“有用”行列式

提炼行列式的计算公式

根据上面的讨论，$n\times n$行列式的计算，最终可以拆分为$n!$个[含有$n$个非零元素]的行列式
（通过拆分本来可以得到$n^n$个行列式，但其中有很多必然为0，只有$n!$个行列式是「每行/每列都有非零元素」的“有用”行列式，也就是说其值不是一定为0）

具体而言，选取其中某个行列式时，先从第一行确定一个非零元素（第一行拆分出$n$个行列式），然后从第二行确定一个非零元素（不能与之前非零元素处于同一列，从而每个行列式又拆分出$n-1$个行列式），以此类推

行列式的公式表示为$$\det (\mathbf{A})=\sum _{n!}\pm a_{1\alpha }{a}_{2\beta }{a}_{3\gamma }\cdots a_{n\omega }$$
其中$(\alpha ,\beta ,\gamma ,...,\omega )$为列号$(1,2,3,...,n)$的一个排列，每一项$\pm$取正号/负号 取决于 通过偶数次/奇数次行交换能够得到对角阵

例如下面的行列式，只可能拆分出两个“有用”行列式，第一个需要一次行交换得到对角阵，第二个需要两次行交换得到对角阵：
∣ 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 ∣ = ∣ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ∣ + ∣ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ∣ = − 1 + 1 = 0 \left|

0011011011001001" role="presentation" style="position: relative;">0011011011001001$$\begin{array}{llll}0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1\end{array}$$

\right|= \left|

0010010010000001" role="presentation" style="position: relative;">0010010010000001$$\begin{array}{llll}0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

\right| +\left|

0001001001001000" role="presentation" style="position: relative;">0001001001001000$$\begin{array}{llll}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}$$

\right|=-1+1=0 ∣ ∣​0011​0110​1100​1001​∣ ∣​=∣ ∣​0010​0100​1000​0001​∣ ∣​+∣ ∣​0001​0010​0100​1000​∣ ∣​=−1+1=0

代数余子式Cofactor formula

代数余子式将$n$列行列式的计算转化为多个$n-1$阶行列式的计算，同时也从另一角度表述了上面进行的拆分

本质上还是利用上面的思想，若从第一行开始拆分，一旦选定第一行的某个元素$a_{1\alpha }$，（将要与$a_{1\alpha }$相乘的）剩余因子只能从剩下的$n-1$行和$n-1$列中选出，按照之前的做法实施进一步拆分后得到若干行列式，即$\sum _{(n-1)!}\pm a_{1\alpha }{a}_{2\beta }{a}_{3\gamma }\cdots a_{n\omega }$，提取公因子$a_{1\alpha }$，另一部分称为代数余子式Cofactor，其值具体是什么呢？

这里直接给出结论：
剩余的$n-1$行和$n-1$列的行列式是$a_{ij}$的余子式minor
将要与$a_{ij}$相乘的另一部分因子就是 [余子式+正负号] 称为$a_{ij}$的代数余子式$C_{ij}$，$C_{ij}$在$i+j$为偶数/奇数时取正/负

行列式的代数余子式表示为$$\det (\mathbf{A})=a_{11}{\mathrm{C}}_{11}+a_{12}{\mathrm{C}}_{12}+\cdots +a_{1\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{1\mathrm{n}}$$
上式是沿第一行展开的结果，实际上可以沿任意一行/一列展开

计算行列式的方法小结

之前说过，最简单的方法是主元表达式

• 主元表达式：通过4-2中介绍的性质，将行列式化为上三角阵，此时行列式=所有主元乘积
  （有主元为0说明不可逆，则行列式为0）
• 分解为$n!$个含有大量零元素的行列式：$\det (\mathbf{A})=\sum _{n!}\pm a_{1\alpha }{a}_{2\beta }{a}_{3\gamma }\cdots a_{n\omega }$
• 代数余子式表示：$\det (\mathbf{A})=a_{11}{\mathrm{C}}_{11}+a_{12}{\mathrm{C}}_{12}+\cdots +a_{1\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{1\mathrm{n}}$
  原理源于上一个公式，但难度降低