#机器学习--高等数学基础--第四章：不定积分

引言

        本系列博客旨在为机器学习(深度学习)提供数学理论基础。因此内容更为精简，适合二次学习的读者快速学习或查阅。

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1、原函数与不定积分的概念

        定义1：如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$ ，即对任一 $x\in I$ ，都有 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 或 $dF(x)=f(x)dx$ ，那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ （或 $f(x)dx$ ）在区间 $I$ 上的一个原函数，原函数的图形被称为积分曲线。

        定义2：在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ （或 $f(x)dx$ ）在区间 $I$ 上的不定积分，记作$$\int f(x)dx=F(x)+C$$        其中记号 $\int$ 称为积分号， $f(x)$ 称为被积函数， $f(x)dx$ 称为被积表达式， $x$ 称为积分变量。

        定理及性质：
        1）连续函数一定有原函数。
        2）设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在，则
$$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$
        3）设函数 $f(x)$ 的原函数存在， $k$ 为非零常数，则
$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

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2、基本积分表

$$\int kdx=kx+C$$$$\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C$$$$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \frac{dx}{co{s}^{2}x}=\tan x+C$$$$\int \frac{dx}{si{n}^{2}x}=-\cot x+C$$$$\int e^{x}dx=e^x+C$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$

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3、换元积分法

        1）设 $f(u)$ 具有原函数， $u=\phi (x)$ 可导，则有换元公式$$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx={\left[\int f(u)du\right]}_{u=\phi (x)}$$

        2）设 $x=\psi (t)$ 是单调的可导函数，并且 ${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$ ，又设 $f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)$ 具有原函数，则有换元公式$$\int f(x)dx={\left[\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)dt\right]}_{t={\psi }^{-1}(x)}$$        其中 ${\psi }^{-1}(x)$ 是 $x=\psi (t)$ 的反函数。

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4、分部积分法

$$\int udv=uv-\int vdu$$