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🌵系列专栏：[C语言] 数据结构奋斗100天

本章将会带你走入C语言数据结构与算法的大门，让你领会新的世界( •̀ ω •́ )✧

说到数据结构与算法，就不得不提到算法效率的好坏了，本章将会让你了解什么叫时间复杂度，什么叫空间复杂度，速速让我们开始吧<(￣︶￣)↗[GO!]

1. 算法的效率

有些人认为，代码越简洁，代码就越好，那么是不是这样呢？请随我接下来看。

1.1 如何衡量一个算法的好坏？

请看下面求斐波那契数列：

long Fib(int N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
    else
		return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
1
2
3
4
5
6
7

可以看到代码非常的简洁，那是否代码效率是否就很高呢？

时间却用了几分钟才能把结果算出来，可以想到，数字才到50就用了几分钟才能将结果算出来，可见代码简洁有时候不一定效率就高。

那么，算法的效率该如何评断呢？

1.2 算法的复杂度

衡量一个代码的好坏，往往需要通过所消耗的时间资源和空间资源来判断。我们经常用复杂度来衡量代码的效率。

时间复杂度主要衡量一个算法运行大概所需要的时间，空间复杂度主要衡量一个算法运行时所需要的额外空间

这里可能会有些疑问，说这么多复杂度到底是什么🤔？

复杂度：就是一个数学函数表达式，通常用 大写字母O _{（Operation）}来表示

例如：O(n^2 + 2n + 1)

2. 时间复杂度

2.1 时间复杂度概念

我们要知道，一个算法所执行所消耗的时间，从理论上来说，是不可能计算出来的，只有你把程序放在机器上跑起来才能知道所消耗的时间，而每一台机器根据硬件的不同，所消耗的时间又会有所差异，那么，时间复杂度到底怎样表示呢？

时间复杂度：

时间复杂度就是算法所要执行基本操作的执行次数。

即：找到某条与基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是该算法的时间复杂度

请看下面一串代码：

void fun(int N)
{
    int count = 0;
    
    //1
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < N; ++j)
        {
            ++count;
        }
    }
    
    //2
    for (int i = 0; i < 2*N; ++i)
    {
        ++count;
    }
    
    //3
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    
    printf("%d\n", count);
}
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fun 执行的基本操作次数为：
$$F(N)=N^2+2N+10$$
在实际计算空间复杂度时，我们其实并不一定需要计算精确的执行次数，而只需要大致执行次数，那么这就是我们所使用的大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O），用于描述函数渐进行为的数学符号。

大O渐进表示法：

• 用 O(1) 来表示所有常数
• 只保留最高次幂项
• 将最高项数的系数去除
• 计算时，计算最坏的情况

所以上面 fun 用大O的渐进表示法表示就是 $$O(N^2)$$

注意：

千万不能通过看循环层数来直接判断时间复杂度，一定要通过分析算法的方式来计算

3. 空间复杂度

空间复杂度：

空间复杂度就是一个算法所需要额外开辟的空间。

但相比于时间，开辟过的空间是可以重复利用的

举个栗子🌰：

void fun(int *nums, int N)
{
    int* arr1 = (int*)calloc(N+1, sizeof(int));
    //....操作
    free(arr1);
    arr1 = NULL;
    
    int* arr2 = (int*)calloc(N+1, sizeof(int));
    //....操作
    free(arr2);
    arr2 = NULL;
}
1
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在这个函数中我们第一次动态开辟了一段 N+1 大小的一段空间，释放掉空间之后，又开辟了一段 N+1 大小的一段空间，那么这一段的空间复杂度是多少呢？

答案：O(n)

解释：

1. 空间复杂度，同样采用大O渐进表示法
2. 开辟过的空间释放掉之后，之后想再次用，会在原来的地方重新申请一块空间_{（这段空间与原来空间大小相同）}

4. 常见复杂度对比

一般常见的复杂度如下：

阶级从上往下依次增大，越往下复杂度越高，效率越低

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现在我们想必已近对时间复杂度和空间复杂度有一定的理解了吧，那么，从新返回到开头，试着用我们刚认识的新知识来判断一下 递归算法求斐波那契数的时间复杂度和空间复杂度吧😀。

long Fib(int N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
    else
		return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
1
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7

时间复杂度：

答案：O(2^n)

解析：

通过画图分析，我们可以推测到当 N>=3 时，递归从N开始，每调用一次递归，都需要执行两次，综合以上推断，执行的次数就是2^n ，故答案为2^n

空间复杂度：

答案：O(n)

解析：

首先我们要注意一点，内存是可以重复利用的，假设一直递归递归到最底层之后，是先结束最后一层的函数调用所开辟的栈帧，然后才为另外一侧的栈帧开辟空间，这样我们根据这个道理，列出数学函数表达式_{(具体的复杂度)}O(n-3) ，则空间复杂度为O(n)

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好啦(/≧▽≦)/， 本期的内容就到这里，如果对你有帮助的话，还不忘给一个大大的三连😘，这对我真的很重要ο(=•ω＜=)ρ⌒☆