【 背包九讲——完全背包问题】

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2.1 模板题

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完全背包问题

原题链接

描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
1
2
3
4
5

输出样例：

输出样例：

10
1

思想

• 状态表示：
  • 集合：dp[i][j]表示前i个物品，总体积不超过j的价值
  • 属性：最大价值
• 状态计算：
  • 不选第i个 物品：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
  • 选第i个物品共k个：dp[i][j] = dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]
  • 集合属性为最大价值，故两种情况取max()
• 当背包容量不够，即j < k * v[i]时，不能选择物品，反之可选

代码

#include 
using namespace std;

const int N = 1e3 +3;

int dp[N][N];

int v[N], w[N];

void solve(){
    
    int n, m;
    
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i]  >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 0; j <= m; j ++){
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++){
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    
}

int main(){
    
    solve();
    
    return 0;
    
}
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优化

• dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j - 2 * v[i]] + 2 * w[i], dp[i - 1][j - 3 * v[i]] + 3 * w[i], ...)
• dp[i][j - v[i]] = max(dp[i - 1][j - v[i]], dp[i - 1][j - 2 * v[i]] + w[i], dp[i - 1][j - 3 * v[i]] + 2 * w[i], ...)
• 即dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v[i]] + w[i])，与k取值无关
• 由此k层循环可以被优化掉
• 进一步优化，发现更新方式同01背包：
  • 01背包：dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])
  • 完全背包：dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j - v[i]] + w[i])
• 即可将dp[i][j]的第一维按01背包的思想将其优化：dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i])
• 由于更新时i不会产生歧义，故不需要逆序更新，顺序更新即可

代码

#include 
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;

int dp[N];

int v[N], w[N];

void solve(){
    
    int n, m;
    
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << dp[m] << endl;
    
}

int main(){
    
    solve();
    
    return 0;
    
}
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2.2 提高练习

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1023. 买书

原题链接

描述

小明手里有n元钱全部用来买书，书的价格为10元，20元，50元，100元。

问小明有多少种买书方案？（每种书可购买多本）

输入格式
一个整数 n，代表总共钱数。

输出格式
一个整数，代表选择方案种数。

数据范围
0≤n≤1000

20
1

输出样例：

输出样例：

2
1

思想

• 书的数量不限，转化为完全背包问题

• 状态表示：

  • 集合：dp[i][j]表示前i种书，选择的价格恰好等于j的集合
  • 属性：集合的个数

• 状态计算：

  • 不选第i种书：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
  • 选第i种书共k本：dp[i][j] = dp[i - 1][j - k * v[i]]
  • 集合属性为集合的个数，取两种方案之和：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - k * v[i]]

• 当背包容量不够，即j < k * v[i]时，不能选择书，反之可选

• 优化状态计算：dp[j] += dp[j - v[i]]

代码

#include 
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int dp[N];

int v[N] = {0, 10, 20, 50, 100};

void solve(){
    
    int m;
    
    cin >> m;
    
    dp[0] = 1;
    
    for(int i = 1; i <= 4; i ++){
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++){
            dp[j] += dp[j - v[i]];
        }
    }
    
    cout << dp[m] << endl;
    
}

int main(){
    
    solve();
    
    return 0;
    
}
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1021. 货币系统 I

原题链接

描述

给你一个n种面值的货币系统，求组成面值为m的货币有多少种方案。

输入格式
第一行，包含两个整数n和m。

接下来n行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示方案数。

数据范围
n≤15,m≤3000
输入样例：

3 10
1
2
5
1
2
3
4

输出样例：

10
1

思想

• 货币的数量不限，转化为完全背包问题

• 状态表示：

  • 集合：dp[i][j]表示前i种货币，选择的面值恰好等于j的集合
  • 属性：集合的个数

• 状态计算：

  • 不选第i种货币：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
  • 选第i种货币共k个：dp[i][j] = dp[i - 1][j - k * v[i]]
  • 集合属性为集合的个数，取两种方案之和：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - k * v[i]]

• 当背包容量不够，即j < k * v[i]时，不能选择货币，反之可选

• 优化状态计算：dp[j] += dp[j - v[i]]

代码

#include 
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL N = 1e6 + 3;

LL dp[N];

LL v[N];

void solve(){
    
    LL n, m;
    cin >> n >> m;
    
    dp[0] = 1;
    
    for(LL i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i];
    
    for(LL i = 1; i <= n; i ++){
        for(LL j = v[i]; j <= m; j ++){
            dp[j] += dp[j - v[i]];
        }
    }
    
    cout  << dp[m] << endl;
    
}

int main(){
    
    solve();
    
    return 0;
    
}
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532. 货币系统 II

原题链接

描述

有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。

每组数据的第一行包含一个正整数 n。

接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式
输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

数据范围
1≤n≤100,
1≤a[i]≤25000,
1≤T≤20
输入样例：

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17 
1
2
3
4
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输出样例：

2
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1
2

思想

• $n$种货币，每种货币可以使用无穷多个，转化为完全背包
• 对于系统$b$，其用来表示系统$a$的货币数量$m$，必然满足$m\le n$
• 故我们对$a$进行消减，将$a_i$可以被其他若干$a_j,a_k,\dots ,a_n(a_j<a_k<\cdots <a_n<a_i)$表示的$a_i$消去，最终剩余的$a_i$即为新的货币系统$b$
• 状态表示：
  • 集合：dp[i][j]表示前i个数，数值为j的方案
  • 属性：该方案是否出现过
• 状态计算：
  • vis[N]记录出现过的方案数，cnt记录选择的最小数量
  • 当dp[i,vis[i]] == 0说明该方案未曾出现，则cnt ++
  • 不选择该方案：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
  • 选则该方案：dp[i][j] = dp[i][j - vis[i]]
  • 集合属性为该方案是否出现过，取两种方案之和：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - vis[i]]
  • 优化：dp[j] += dp[j - vis[i]]

代码

#include 
using namespace std;

const int N = 1e6 + 3;

int vis[N];

bool dp[N];

void solve(){
    
    memset(dp, 0, sizeof dp);
    
    int n;
    
    cin >> n;
    
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> vis[i];
    
    sort(vis, vis + n);
    
    int maxn = vis[n - 1];
    
    int cnt = 0;
    
    dp[0] = 1;
    
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        if(!dp[vis[i]]) cnt ++;
        
        for(int j = vis[i]; j <= maxn; j ++){
            dp[j] += dp[j - vis[i]];
        }
    }
    
    cout << cnt << endl;
    
}

int main(){
    
    int _;
    
    cin >> _;
    
    while(_ --){
        solve();
    }
    
    return 0;
    
}
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