DSA之图（4）：图的应用

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0 图的应用
1 生成树

0 图的应用

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1 生成树

生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图。
也就是两个条件，顶点条件和边数条件，顶点都要保持连通，边数达到最少，没有回路。
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如右边的图，随便再加一条边就有回路了。
所有生成树都具有以下的共同特点：

生成树的顶点个数与图的顶点个数相同；
生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通；
一个有 $n$ 个顶点的连通图的生成树有 $n - 1$ 条边；
生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的；
含有 $n$ 个顶点 $n - 1$ 条边的图不一定是生成树，如下图所示

因为生成树是连通的，每个顶点都要用边相连，上图是不连通的，有两个连通分量。

1.1 无向图的生成树

生成树要包含所有顶点，那么对图进行遍历，把走过的边全部加入到图当中。
遍历则采用DFS与BFS都可以。在这里插入图片描述

用DFS生成的生成树就是DFS生成树。
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用BFS生成的生成树就是BFS生成树。

综上
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1.2 最小生成树

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最小生成树：给定一无向网络在该网的所有生成树中，使得各边权值之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。
最小生成树可能是不唯一的。

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1.2.1 构造最小生成树

构造最小生成树的算法很多，其中多数算法都利用了MST(Minimum Spanning Tree)的性质。

MST性质：
其实就是贪心算法，不断去找权值最小的边。
设 $N = (V, E)$ 以目是一个连通网， $U$ 是顶点集 $V$ 的一个非空子集。若边 $(u, v)$ 是一条具有最小权值的边，其中 $u \in U, v \in V - U$ 则必存在一棵包含边 $(u, v)$ 的最小生成树。

举例

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现在 $U=\{v_1\}$ ，所以 $V-U=\{v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ ，所以 $u \in U, v \in V - U$ 当中，其中从 $v_1$ 到 $v_3$ 是最小的，权值为1，存在这个权值最小的边，这条边一定会包含在某个最下生成树当中。

1.2.2 Prim算法构造最小生成树

算法思想：
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1.2.3 Kruskal算法构造最小生成树

相比Prim算法更加贪心，直截了当贪心，前提不成环。这次开始就把所有顶点都加入到最小生成树上面去。不过并不包括边，这时边的集合都是空集，没包含边，彼此之间不连通。
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然后直接在边集合当中选权值最小的边，直接加入。
以此类推，选到所有顶点都连通为止（前提不能形成回路）（n个点，n-1条边）。

1.2.4 两种算法的比较

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Prim是选择点加入的，而Kruskal是选择边的。选择边的时候和顶点数是没关系的。

1.3 最短路径

1.3.1 两点间最短路径

从起点走向终点，并非要n个节点都包括，也并非要n-1条边。在这里插入图片描述
直到找到路径长度最短的一条路径。
这种最短路径也称为单源的最短路径，采用Dijkstra算法。

1.3.2 某源点到其他各点最短路径

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所有顶点的最短路径，统一使用Floyd弗洛伊德算法。

1.3.3 Dijkstra

其时间复杂度为 $O(n^3)$
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按照路径长度递增次序产生最短路径，启发式贪心算法。

启发式算法，先找最短的，后面再及时更新，具体过程可以看王老师的视频。

1.3.4 Floyd

其时间复杂度为 $O(n^3)$

算法思想：

逐个顶点试探
从少，到的所有可能存在的路径中
选出一条长度最短的路径

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求最短路径的步骤：
初始时设置一个 $n$ 阶方阵，令其对角线元素（到自身的路径）为0，若存在弧 $< v_{i}, v_{j} >$ ，则对应元素为权值；否则为 $\infty$ 。
逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间顶点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。所有顶点试探完毕，算法结束。