关于向量值函数方程变分的一点注记

关于向量值函数方程变分的一点注记

有人说，自己做的都是标量解函数的偏微分方程变分，当遇到解函数是向量值函数时，就不知道有限元空间怎么取，变分也不知道怎么做了。其实是一样的，我这里做个注记。

预备知识

矩阵内积

矩阵内积（Frobenius 含义下的）定义为：
$$A:B=\sum _{i,j}{a}_{ij}{b}_{ij}$$
它表示的是矩阵的对应位置相乘最后再求和。

对于矩阵内积，我们有如下性质，

• $DA:B=A:D^{T}B$
• $AD:B=A:B{D}^T$
• $A:DB=D^{T}A:B$
• $A:BD=A{D}^T:B$

它从如下表达很容易看出：
$$A:B=\mathrm{tr}\left(A^{T}B\right)=\mathrm{tr}\left(A{B}^T\right)$$

函数向量的梯度

为了方便和统一，我们以后记标量的梯度是个列向量，而矢量的梯度是个矩阵，每一行都表示矢量的某个分量的梯度，即，形如：
∇ f = ( f x 1 f y 1 f z 1 f x 2 f y 2 f z 2 ) \nabla \mathbf{f}=\left(f1xf1yf1zf2xf2yf2z

\right) ∇f=(fx1​fx2​​fy1​fy2​​fz1​fz2​​)
有些地方，关于矢量梯度的定义差一个转置。那么，拉普拉斯算子为：
$$\Delta \mathbf{f}=\left(\begin{array}{c}\Delta f_{}^1\\ \Delta f_{}^2\end{array}\right)$$

有些人的这两个的定义跟我这里的定义差一个转置。做问题搞程序的时候，要搞清楚有没有转置。

向量值有限元空间

类似于标量函数的有限元空间，考虑向量值函数有限元空间，以二维向量值为例，可以定义为:
V = span ⁡ { [ φ 1 0 ] , … , [ φ m 0 ] , [ 0 φ 1 ] , … , [ 0 φ m ] } : = span ⁡ { ( ϕ i ) } \mathbf{V}=\operatorname{span}\left\{\left[φ10

\right], \ldots,\left[φm0\right],\left[0φ1\right], \ldots,\left[0φm\right]\right\}:=\operatorname{span}\left\{\left(\phi_{i}\right)\right\} V=span{[φ1​0​],…,[φm​0​],[0φ1​​],…,[0φm​​]}:=span{(ϕi​)}

常数矩阵可穿算子

所有用到常矩阵 $\mathbf{D}$ 的地方，是可以随意进出梯度和散度算子的，即 ${\nabla }_{}\mathbf{Du}=\mathbf{D}{\nabla }_{}\mathbf{u}$ ，且 $\mathrm{div}\mathbf{Du}=\mathbf{D}\mathrm{div}$ 。再 一个对于矩阵的散度和梯度算子，是支持分块矩阵的操作的。

举个简单的例子

有了以上的准备，我们举个简单的例子来看向量值解的方程的变分，
我们考虑这样一个例子:

{ u t − d u u Δ u − d u v Δ v = a u ( 1 − u ) − b u v u + α v t − d v u Δ u − d v v Δ v = c u v u + α − d v \left\{ut−duuΔu−duvΔv=au(1−u)−buvu+αvt−dvuΔu−dvvΔv=cuvu+α−dv

\right. {ut​−duu​Δ​u−duv​Δ​v=au(1−u)−bu+αuv​vt​−dvu​Δ​u−dvv​Δ​v=cu+αuv​−dv​

令 $\mathbf{u}=[u,v{]}^T$ ，那么上面的方程组可以写为:
$${\mathbf{u}}_t-D\Delta \mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{u})$$
做变分就得到：
$$\int {\mathbf{u}}_t\cdot \mathbf{v}+\int {\nabla }_{}\mathbf{u}:{\nabla }_{}\left(D^T\mathbf{v}\right)=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}$$
或者，
$$\int {\mathbf{u}}_t\cdot \mathbf{v}+\int D{\nabla }_{}\mathbf{u}:{\nabla }_{}\mathbf{v}=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}$$

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PS：
很多人不太理解，为什么 $D$ 写在了这个地方，第一个还多了一个转置。这个和我们对向量函数的定义有关。一般来说，我们喜欢把梯度定义为列向量，一列一列地来，但是上述的关于向量值函数的梯度，却是对每个分量求梯度，然后按行排的，这是反直觉的，所以导致了这个地方的 $D$ 并不是在 $\mathbf{u}$ 前面。
为了和标量函数的梯度是列向量这个事情统一，假设我修改向量值函数梯度和拉普拉斯的定义如下：
∇ f = ( f x 1 f y 1 f z 1 f x 2 f y 2 f z 2 ) T \nabla \mathbf{f}=\left(f1xf1yf1zf2xf2yf2z

\right)^T ∇f=(fx1​fx2​​fy1​fy2​​fz1​fz2​​)T
$$\Delta \mathbf{f}={\left(\begin{array}{c}\Delta f_{}^1\\ \Delta f_{}^2\end{array}\right)}^T$$
那么上述问题就应该写为：
$${\mathbf{u}}_t-(\Delta \mathbf{u}{D}^T{)}^T=\mathbf{f}(\mathbf{u})$$
此时我们再做变分，可以得到的是，
$$\int {\mathbf{u}}_t\cdot \mathbf{v}+\int {\nabla }_{}\mathbf{u}{D}^T:{\nabla }_{}\mathbf{v}=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}$$
再在 ${\nabla }_{}\mathbf{u}$ 和 ${\nabla }_{}\mathbf{v}$ 头上加转置变回原来的定义方式，就得到了最开始的上述的表达。

这几行 PS 描述，似乎有点扯淡，这是因为这种情况下，只要保持 ${\nabla }_{}\mathbf{u}$ 和 ${\nabla }_{}\mathbf{v}$ 定义的方向一致即可，所以不看也罢。

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接着考虑向量变分形式的有限元离散，向量有限元空间，定义为:
V = span ⁡ { [ φ 1 0 ] , … , [ φ m 0 ] , [ 0 φ 1 ] , … , [ 0 φ m ] } : = span ⁡ { ( ϕ i ) } \mathbf{V}=\operatorname{span}\left\{\left[φ10

\right], \ldots,\left[φm0\right],\left[0φ1\right], \ldots,\left[0φm\right]\right\}:=\operatorname{span}\left\{\left(\phi_{i}\right)\right\} V=span{[φ1​0​],…,[φm​0​],[0φ1​​],…,[0φm​​]}:=span{(ϕi​)}
和标量有限元离散同样的套路，令
$$\mathbf{u}=\sum _{i=1}^n{u}_i{\varphi }_i$$
依次取 $\mathbf{v}={\varphi }_i$ ，做向量形式的有限元离散，最后可得:
$$M{\vec{u}}_t+A\vec{u}={\left[f_u\left({\varphi }_i\right)\right]}_{n\times 1}$$
其中，
$$M={\left[\int {\varphi }_i\cdot {\varphi }_j\right]}_{n\times n}$$
$$A={\left[\int {\nabla }_{}{\varphi }_i:D{\nabla }_{}{\varphi }_j\right]}_{n\times n}$$
$$f_u\left({\varphi }_i\right)=\int \mathbf{f}(\mathbf{u})\cdot {\varphi }_i$$
事实上，这个离散系统本质上和对原方程组两个式子分别做变分（用同一个测试空间），最后再拼接组合成一个代数方程组是一样的，即:
( M s 0 0 M s ) u ⃗ t + ( d u u A s d u v A s d v u A s d v v A s ) u ⃗ = [ { f 1 ( u , φ i ) } , { f 2 ( u , φ i ) } ] T \left(Ms00Ms

\right) \vec{u}_{t}+\left(duuAsduvAsdvuAsdvvAs

\right) \vec{u}=\left[\left\{f_{1}\left(\mathbf{u}, \varphi_{i}\right)\right\},\left\{f_{2}\left(\mathbf{u}, \varphi_{i}\right)\right\}\right]^{T} (Ms​0​0Ms​​)u t​+(duu​As​dvu​As​​duv​As​dvv​As​​)u =[{f1​(u,φi​)},{f2​(u,φi​)}]T
这里的 $M_s$ 和 $A_s$ 的下标 $s$ 表示的是 $u,v$ 所同属的空间 $V$ 中的质量矩阵和刚度矩阵。