2022年镇海夏令营组合数学和数论班 —— 数学作业 1

一、计算题

1. $1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +99\times 100$
   思路：这种题目强行计算，当然可以，计算量很大。所以需要观察计算式。
   我们可以发现对于每一项，都有通项公式。$a_i=i\ast (i+1),i\in [1,99]$
   $a_i=i\ast (i+1)=i^2+i$。
   $$\begin{gathered} 1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +99\times 100 \\ =(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+\cdots +(99^2+99) \\ =(1^2+2^2+3^2+\cdots +99^2)+(1+2+3+\cdots +99) \end{gathered}$$
   利用平方和公式 $s_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ 可得
   $1^2+2^2+3^2+\cdots +99^2=\frac{1}{6}\ast 99\ast (99+1)\ast (2\ast 99+1)=328,350$。
   $1+2+3+\cdots +99=\frac{1}{2}\ast (1+99)=4,950$。
   故答案为 $328350+4950=333300$。
2. $1\times 99+2\times 98+3\times 97+\cdots +99\times 1$
   思路：强行计算基本是不可能的。还是观察。
   解：$$\begin{gathered} 1\times 99+2\times 98+3\times 97+\cdots +99\times 1 \\ =1\times (100-1)+2\times (100-2)+3\times (100-3)+\cdots +99\times (100-99) \\ =(1\ast 100-1^2)+(2\ast 100-2^2)+(3\ast 100-3^2)+\cdots +(99\ast 100-99^2) \\ =100\ast (1+2+3+\cdots +99)-(1^2+2^2+3^2+\cdots +99^2) \\ =100\ast (1+99)\ast 99/2-328350 \\ =495000-328350 \\ =166650 \end{gathered}$$

二、综合题
3. 设 $m$ 是一个大于 $2$ 的正整数。证明：对任意正整数 $n$ 都有 $2^{m-1}$ 不能被 $2^{n+1}$ 整除。
思路：本题是一个存在性证明，考虑使用反证法。
证明：假设存在正整数 $n$，使得 $2^m-1|2^n+1$，那么取其中最小的那个 $n$。
根据题意可得 $m>2,n>1,2^m-1|2^n+1\to 2^n+1\ge 2^m-1\to n\ge m$。
当 $n=m$ 时，$2^m-1|2^n-1$，同时 $2^m-1|2^n+1$，表示两者同余，可得 $2^m-1|2$。由于 $2^m-1$ 必然是偶数，矛盾。
当 $n>m$ 时，设 $2^n+1=k(2^m-1)\forall k\ge 1$，则
$2^n+2^m=(2^n+1)+(2^m-1)=(k+1)(2^m-1)$，
即 $2^m(2^{n-m}+1)=(k+1)(2^m-1)$。
于是 $(2^{n-m}+1)+(2^m-1)(2^{n-m}+1)=(k+1)(2^m-1)$，
得 $2^{n-m}+1=(2^m-1)(k-2^{n-m})\to 2^m-1|2^{n-m}+1$。
记 $n-m$ 为 $n^{\prime }$，
由于 $n>2,m>1\to n-m<n\to n^{\prime }<n$，
说明存在一个更小 $n^{\prime }$ 使得假设成立，余我们假设的 $n$ 为最小矛盾。
Q. E. D.

4. 求使得 $|4x^2-12x-27|$ 为素数的所有整数 $x$。
   思路：
   看到素数要求，考虑质因数分解。
   看到一个复杂的公式，第一反应就是分解。这个公式是一个一元二次方程。$4=2\ast 2=1\ast 4,27=1\ast 27=3\ast 9$。
   所谓的一元二次方程分解
   $$\begin{gathered} (a\ast x+b)(c\ast x+d) \\ =a\ast x\ast c\ast x+a\ast x\ast d+b\ast c\ast x+b\ast d \\ =(a\ast c)\ast x^2+(a\ast d+b\ast c)\ast x+b\ast d \end{gathered}$$
   解：$|4x^2-12x-27|=|(2x-9)(2x+3)|$，
   根据题意 $|4x^2-12x-27|$ 为素数，那么 $|(2x-9)|$ 和 $|(2x+3)|$ 必须有一个为 $1$。（如果这两个因子都不等于 $1$，则该数必然不是素数。）
   可能性 $1$：$|(2x-9)|=1$ 则 $(2x-9)=1\to x=5$ 或者 $(2x-9)=-1\to x=4$。
   验证。
   当 $x=5$ 时候，$|(2x+3)|=|2\ast 5+3|=13$，是素数，符合条件。
   当 $x=4$ 时候，$|(2x+3)|=|2\ast 4+3|=11$，是素数，符合条件。
   可能性 $2$：$|(2x+3)|=1$，则 $2x+3=1\to x=-1$ 或者 $2x+3=-1\to x=-2$。
   验证。
   当 $x=-1$ 时候，$|(2x-9)|=|2\ast (-1)-9|=11$，是素数，符合条件。
   当 $x=-2$ 时候，$|(2x-9)|=|2\ast (-2)-9|=13$，是素数，符合条件。
   综上所述，所有的整数为：$-2,-1,4,5$。