摘自 《高中数学竞赛解题策略·几何分册》牛顿定理, 全文插图请见 link
牛顿定理. 四边形 A B C D ABCD ABCD 有一内切圆, 分别切 A B AB AB, B C BC BC, C D CD CD, D A DA DA 于点 E E E, F F F, G G G, H H H. 则四边形对角线交点和两条对边切点的连线相交于同一点.
证明: 我们先证明凸四边形的情形.
引理. E G EG EG, F H FH FH, B D BD BD 交于一点, 设该点为 M M M, 且 B M / D M = B E / H D BM/DM=BE/HD BM/DM=BE/HD.
分别设 E G EG EG, F H FH FH 交 B D BD BD 于点 M 1 M_{1} M1, M 2 M_{2} M2. B M 1 D M 1 = S △ B E M 1 S △ D G M 1 ⋅ G M 1 E M 1 \frac{BM_{1}}{DM_{1}}=\frac{S_{\triangle BEM_{1}}}{S_{\triangle DGM_{1}}}\cdot \frac{GM_{1}}{EM_{1}} DM1BM1=S△DGM1S△BEM1⋅EM1GM1. 由于 ∠ A E G = ∠ D G E \angle AEG=\angle DGE ∠AEG=∠DGE, S △ B E M 1 S △ D G M 1 = E M 1 ⋅ B E G M 1 ⋅ D G \frac{S_{\triangle BEM_{1}}}{S_{\triangle DGM_{1}}}=\frac{EM_{1}\cdot BE}{GM_{1}\cdot DG} S△DGM1S△BEM1=GM1⋅DGEM1⋅BE, 故 B M 1 D M 1 = B E E G = B E H D \frac{BM_{1}}{DM_{1}}=\frac{BE}{EG}=\frac{BE}{HD} DM1BM1=EGBE=HDBE. 同理可证: B M 2 D M 2 = B E H D \frac{BM_{2}}{DM_{2}}=\frac{BE}{HD} DM2BM2=HDBE. 证毕.
根据引理, 可以推得 E G EG EG, F H FH FH, A C AC AC 也交于一点, 命题得证.
当四边形 A B C D ABCD ABCD 为凹四边形时, 证明完全同理.
当四边形 A B C D ABCD ABCD 为折四边形时, 证明完全同理.
性质1. 圆内切四边形的两条对角线的中点和内切圆的圆心共线.
证明:
如图, 证明 S △ M I D = S △ M I B S_{\triangle MID}=S_{\triangle MIB} S△MID=S△MIB
设 S △ A I D = S 1 S_{\triangle AID}=S_{1} S△AID=S1, S △ C I D = S 2 S_{\triangle CID}=S_{2} S△CID=S2, S △ B I C = S 3 S_{\triangle BIC}=S_{3} S△BIC=S3, S △ A I B = S 4 S_{\triangle AIB}=S_{4} S△AIB=S4
S △ M I D = S 2 − 1 2 S △ A C D − 1 2 S △ I A C = S 2 − 1 2 S △ A C D − 1 2 ( S 1 + S 2 − S △ A C D ) = 1 2 ( S 2 − S 1 ) S_{\triangle MID}=S_{2}-\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}-\frac{1}{2}S_{\triangle IAC}=S_{2}-\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}-\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2}-S_{\triangle ACD})=\frac{1}{2}(S_{2}-S_{1}) S△MID=S2−21S△ACD−21S△IAC=S2−21S△ACD−21(S1+S2−S△ACD)=21(S2−S1)
同理 S △ M I B = 1 2 ( S 3 − S 4 ) S_{\triangle MIB}=\frac{1}{2}(S_{3}-S_{4}) S△MIB=21(S3−S4)
易证, ( S 2 − S 1 ) = 1 2 r ( C D − A C ) (S_{2}-S_{1})=\frac{1}{2}r(CD-AC) (S2−S1)=21r(CD−AC), ( S 3 − S 4 ) = 1 2 r ( B C − A B ) (S_{3}-S_{4})=\frac{1}{2}r(BC-AB) (S3−S4)=21r(BC−AB), 显然相等, 证毕.
证明参考 link