坐标系之间的变换

本文来自 《Fundamentals of Computer Graphic》 7.5 Coordinate Transform
在图 7.19 中，右上图是保持坐标系不变，移动点的位置；右下图是保持点的位置不变，移动坐标系。在这两种移动方法之后，点在坐标系上的坐标都是 $(1,1)$。

改变坐标系的想法与编程中的类型转换类似。在我们把一个浮点数和一个整型数相加之前。我们需要把浮点型转换为整型或者把整型转换成浮点型。再举一个例子，假设有一辆行驶在城市中的轿车。在我们能把城市和车画在一起之前，我们需要把城市转换到轿车坐标系或者把轿车转换到城市坐标系。
 
几何地，一个坐标系由一个原点和一组基底（3个向量的集合）构成。一般默认是正交基底。
在一个拥有原点 $\mathbf{p}$ 和基底 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$，坐标 $(u,v,w)$ 描述了下面这个点
$$\mathbf{p}+u\mathbf{u}+v\mathbf{v}+w\mathbf{w}.$$
在 2 维的情况下，默认使用 $\mathbf{o}$ 表示原点，$\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 分别表示右手系正交基底向量。

在 2 维的情况下，右手系表示从 $\mathbf{x}$ 轴开始逆时针选择。
在下图 7.20 中，左图有两个坐标系与一个点，右图表示了该点在两个不同坐标系下是如何构成的。

$$\mathbf{p}=(x_p,y_p)\equiv \mathbf{o}+x_p\mathbf{x}+y_p\mathbf{y}$$
在图 7.20 中，$(x_p,y_p)=(2.5,0.9)$。
类似地，
$$\mathbf{p}=(u_p,v_p)\equiv \mathbf{o}+u_p\mathbf{x}+v_p\mathbf{y}$$
在图 7.20 中，$(x_p,y_p)=(0.5,-0.7)$。
我们可以用下面的矩阵来表示上面两种不同坐标系下坐标的关系：

注意，上面的 $x_e,y_e$ 分别表示 $\mathbf{e}$ 点在以 $\mathbf{o}$ 为原点的坐标系下的坐标。
上面的 $x_u,y_u$ 分别表示向量 $\mathbf{u}$ 在以 $\mathbf{o}$ 为原点的坐标系下的坐标。
上面的 $x_v,y_v$ 分别表示向量 $\mathbf{v}$ 在以 $\mathbf{o}$ 为原点的坐标系下的坐标。
实际上，这是先对关于$\mathbf{u},\mathbf{v}$做了旋转， 再对$\mathbf{e}$ 做了平移操作。用下述更加简洁的矩阵表示：
p x y = [ u v e 0 0 1 ] p u v \mathbf{p}_{xy}=

\mathbf{p}_{uv} pxy​=[u0​v0​e1​]puv​
我们称上面的矩阵为针对（u，v）帧的 frame-to-canonical 矩阵。它将以用 $(u,v)$ 帧表示的点作为输入，转换到以 canonical frame 表示的形式。
 
相反的转换顺序，我们有
[ u p v p 1 ] = [ x u y u 0 x v y v 0 0 0 1 ] [ 1 0 − x e 0 1 − y e 0 0 1 ] [ x p y p 1 ]

[upvp1]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢upvp1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{u}_p\\ v_p\\ 1\end{array}\right]$$

=

[xuyu0xvyv0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xuxv0yuyv0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& 0\\ x_v& y_v& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[10−xe01−ye001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100010−xe−ye1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -x_e\\ 0& 1& -y_e\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[xpyp1]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xpyp1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{c}{x}_p\\ y_p\\ 1\end{array}\right]$$

⎣ ⎡​up​vp​1​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​xu​xv​0​yu​yv​0​001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​100​010​−xe​−ye​1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​xp​yp​1​⎦ ⎤​

上面是先平移，再旋转，注意与之前的区分开来。
它们是之前我们用来构造 frame-to-canonical 矩阵的旋转与平移的逆，被称作 canonical-to-frame 矩阵。
p u v = [ u v e 0 0 1 ] − 1 p x y \mathbf{p}_{uv}=

^{-1} \mathbf{p}_{xy} puv​=[u0​v0​e1​]−1pxy​
canonical-to-frame 矩阵将以 canonical 帧表示的点为输入，将它们转化成在 $(u,v)$ 帧下表示的点。我们将这个矩阵表示成 frame-to-canonical 矩阵的逆，因为它不能立刻被写成使用 $\mathbf{e},\mathbf{u},\mathbf{w}$ 的 canonical 坐标。但是请记住，所有坐标系都是等价的；将向量以$x-,y-$坐标存储的习惯创造了这种看上去的不对称。canonical-to-frame矩阵可以被简单表示为 $\mathbf{o},\mathbf{x},\mathbf{y}$ 的坐标 $(u,v)$。
p u v = [ x u v y u v o u v 0 0 1 ] p x y \mathbf{p}_{uv}=

[xuvyuvouv001]" role="presentation" style="position: relative;">[xuv0yuv0ouv1]$$\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{x}}_{uv}& {\mathbf{y}}_{uv}& {\mathbf{o}}_{uv}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

\mathbf{p}_{xy} puv​=[xuv​0​yuv​0​ouv​1​]pxy​
 
 
关于上述两个矩阵，做个验证：
p u v = [ x u y u 0 x v y v 0 0 0 1 ] [ 1 0 − x e 0 1 − y e 0 0 1 ] p x y = [ x u y u 0 x v y v 0 0 0 1 ] [ 1 0 − x e 0 1 − y e 0 0 1 ] [ 1 0 x e 0 1 y e 0 0 1 ] [ x u x v 0 y u y v 0 0 0 1 ] p u v \mathbf{p}_{uv}=

[xuyu0xvyv0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xuxv0yuyv0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& 0\\ x_v& y_v& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[10−xe01−ye001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100010−xe−ye1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -x_e\\ 0& 1& -y_e\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

\mathbf{p}_{xy}=

[xuyu0xvyv0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xuxv0yuyv0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& 0\\ x_v& y_v& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[10−xe01−ye001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100010−xe−ye1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -x_e\\ 0& 1& -y_e\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[10xe01ye001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100010xeye1⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& x_e\\ 0& 1& y_e\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[xuxv0yuyv0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xuyu0xvyv0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& 0\\ y_u& y_v& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

\mathbf{p}_{uv} puv​=⎣ ⎡​xu​xv​0​yu​yv​0​001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​100​010​−xe​−ye​1​⎦ ⎤​pxy​=⎣ ⎡​xu​xv​0​yu​yv​0​001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​100​010​−xe​−ye​1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​100​010​xe​ye​1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​xu​yu​0​xv​yv​0​001​⎦ ⎤​puv​
= [ x u y u 0 x v y v 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ x u x v 0 y u y v 0 0 0 1 ] p u v =

[xuyu0xvyv0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xuxv0yuyv0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& 0\\ x_v& y_v& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[100010001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

[xuxv0yuyv0001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢xuyu0xvyv0001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& 0\\ y_u& y_v& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

\mathbf{p}_{uv} =⎣ ⎡​xu​xv​0​yu​yv​0​001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​100​010​001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​xu​yu​0​xv​yv​0​001​⎦ ⎤​puv​

= [ x u 2 + y u 2 x u x v + y u y v 0 x v x u + y v y u x v 2 + y v 2 0 0 0 1 ] p u v =

\mathbf{p}_{uv} =⎣ ⎡​xu2​+yu2​xv​xu​+yv​yu​0​xu​xv​+yu​yv​xv2​+yv2​0​001​⎦ ⎤​puv​
= [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] p u v =

[100010001]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

\mathbf{p}_{uv} =⎣ ⎡​100​010​001​⎦ ⎤​puv​
注意到，$x_u^2+y_u^2$ 表示单位向量的模长的平方，$x_u{x}_v+y_u{y}_v$ 表示两个正交向量的内积。
在 3 维中，上面的关于 2 维的结论可以推广：