线性代数学习笔记3-3：逆矩阵的理解

概念：
列空间：矩阵的列向量张成的空间，也就是矩阵的列向量线性组合得到的所有可能向量的集合

首先明确，方阵才可能有（不是一定存在）逆矩阵

之前说过，逆矩阵的几何意义就是将一个线性变换的影响做还原，下面从纯数学的角度上讨论

逆矩阵

逆矩阵定义为$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$

• 逆矩阵，也称非奇异矩阵
• “非奇异”这个名称表明，它对应的不是一个“特殊”的无法被还原的线性变换，也即：它对应的不是“降维”的线性变换

矩阵何时不可逆

从矩阵乘法来看，我们想要找到一个逆矩阵，使$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{I}$，则$\mathbf{A}$中的列向的线性组合，一定能够得出列向量 [ 1 0 ] T

^T [1​0​]T和 [ 0 1 ] T

[01]" role="presentation" style="position: relative;">[01]$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$$

^T [0​1​]T
从几何上看，逆矩阵代表一个线性变换能够被“还原”（能被“还原”的映射一定是同维度的一对一映射；降维的变换是无法还原的，因为“升维”并非一一对应的映射，不满足函数的定义）

• 当矩阵$\mathbf{A}$的列向量线性相关（位于同一条直线上），则矩阵$\mathbf{A}$不可逆
  数学上：列向量线性相关，就是$\mathbf{A}$至少存在两个列向量，它们的线性组合为$0$，则线性组合后一定不能同时得到 [ 1 0 ] T
  [10]" role="presentation" style="position: relative;">[10]$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$
  ^T [1​0​]T和 [ 0 1 ] T
  [01]" role="presentation" style="position: relative;">[01]$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$$
  ^T [0​1​]T
  几何上：至少有一个列向量是“多余”的，列空间比原来小，对应了降维的变换，不可逆
• 如果存在非零列向量$\mathbf{x}$使$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$（$\mathbf{A}$的零空间不只有零向量），那么矩阵$\mathbf{A}$不可逆
  数学上：等价于 [两个列向量线性相关] ， 与上面的描述等价
  几何上：线性变换时，零向量一定映射为零向量，若有非零向量映射为零向量，则对应降维的变换，不可逆
• 存在非零列向量$\mathbf{x}$使$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的典型情况：矩阵有全零行，那么矩阵$\mathbf{A}$不可逆

矩阵可逆时，求逆矩阵

我们希望求解${\mathbf{A}}^{-1}$，使得$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{I}$

• 对于2x2的情况，我们考虑${\mathbf{A}}^{-1}$的第一列和$\mathbf{I}$的第一列、${\mathbf{A}}^{-1}$的第二列和$\mathbf{I}$的第二列，这个问题就变成了求解两个形如$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{v}$的方程组
• 此外，Gauss-Jordan消元法，能够“同时求解”两个方程组，一次性找出矩阵的逆：写出增广矩阵 [ A I ]
  [AI]" role="presentation" style="position: relative;">[AI]$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{I}\end{array}\right]$$
  [A​I​]，对其做行变换（将左侧的矩阵消元为单位阵）可得逆矩阵 [ I A − 1 ]
  [IA−1]" role="presentation" style="position: relative;">[IA−1]$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}& {\mathbf{A}}^{-1}\end{array}\right]$$
  [I​A−1​]
  原理：行变换对应着用另一个矩阵左乘当前矩阵，上面的过程相当于用${\mathbf{A}}^{-1}$同时左乘两个矩阵