矩阵分析与应用

先讨论两个矩阵之间的特殊求和

矩阵的直和

定义：m*m矩阵A与n*n矩阵B的直和记作，它是一个（m+n）*（m+n）的矩阵，定义为：

两个矩阵的直和不是两个矩阵元素之间的任何求和运算，只是一种形式上的求和符号，其真实含义是将两个矩阵按照对角线位置堆放，直接组合成一个更大维数的矩阵。

类似的，还可以定义多个矩阵的直和，如：

矩阵的直和具有以下性质：

1.若c为常数，则有： 

2.若，则:

3.矩阵的直和的复共轭，转置，复共轭转置与逆矩阵：

，A，B可逆。

4.若A，B为m*m矩阵，且C,D为n*n矩阵，则：

5.若A，B，C分别是m*m，n*n，p*p矩阵，则：

6.矩阵直和的迹，秩，行列式：

7.若A，B分别是m*m，n*n正交矩阵，则是（m+n）*（m+n）的正交矩阵。

Hadamard积

现在考虑两个矩阵之间的直接乘积。

定义：m*n矩阵与m*n矩阵的Hadamard积记作，它仍然是一个m*n矩阵，定义为：

Hadamard积也称Schur积或者对应元素乘积。矩阵Hadamard积的一个主要定理是下面的Hadamard积定理。

定理：若m*m矩阵A，B是正定的或半正定的，则它们的Hadamard积也是正定的或半正定的。

推论：令A是一个m*m矩阵，当且仅当

A是半正定矩阵，对所有m*m的半正定矩阵B成立。

下面的两个定理描述了矩阵Hadamard积与迹之间的关系。

定理：令A，B，C为m*n矩阵，并且为n*1求和向量，中，则:

定理：令A，B为n*n的正方矩阵并且为n*1求和向量，假定M是一个n*n对角矩阵，而为n*1向量，则有：

Hadamard积的性质如下：

1.若A，B均为m*n矩阵，则：

2.任何一个m*m矩阵A与m*n零矩阵的Hadamard积对于m*n零矩阵，即：

3.若c为常数，则：

4.矩阵与单位矩阵的Hadamard积为m*m对角矩阵，即：

5.若A,B,C,D均为m*n矩阵，则：

6.若A，C为m*m矩阵，并且B，D为n*n矩阵，则：

7.若A，B，C为m*n矩阵，则：

8.若A，B，D为m*m矩阵，则：

D为对角矩阵

矩阵化函数与向量化函数

一个mn*1向量的矩阵化函数是一个将mn个元素的列向量转化为m*n矩阵的算子，即：

相反，若是一个m*n的矩阵，则A的向量化函数vec(A)是一个mn*1的向量，其元素是A的元素的字典式排序，即：

矩阵元素的字典式排序也称按列堆栈。