线性代数学习笔记1：何为线性代数

何为代数

将具体的数学运算抽象化，只关注运算关系
$$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$$
这种抽象有什么用？

• $a$和$b$进一步抽象向量，则得到了向量的完全平方公式$$(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$$
  也就是勾股定理和余弦定理：
  $$(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2=|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2+2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\mathbf{cos\theta }$$
• 只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，就可以这个集合进行一系列线性化处理和分析，这个集合就叫线性空间。这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了。

何为线性

• 不要与初等数学中简单的“直线”混为一谈，$y=kx+b$在高度数学中不是严格的线性，而$y=kx$才是线性的
• 高等数学的线性：可加性和比例性，即：线性组合的函数=函数的线性组合$$f(k_1{x}_1+k_2{x}_2)=k_{1}f(x_1)+k_{2}f(x_2)$$
• 可加性：线性的可加性既是没有互相激励的累加，也是没有互相内耗的累加
• 比例性/齐次性：说明没有初始值，有几倍的输入量刚好就有几倍的输出量
• 意义：我们可以将复杂的函数运算，拆解为几个简单元素的函数运算的叠加
  一方面，线性函数运算简单，另一方面，许多复杂运算可用线性函数来近似

继续进行代数的“抽象”，从初等数学推广到高等数学，也就是将$f(x)=kx$中的$k$和$x$推广为矩阵和列向量，就得到$f(\mathbf{x})=\mathbf{K}\mathbf{x}$，这就是高等数学中的线性函数（本质上是一个n元齐次线性方程组）

• 这个高等线性函数就是线性变换的表达式
• 向量$\mathbf{x}$（一段有向线段）通过线性变换，得到另一向量$\mathbf{y}$，决定这个线性变换的核心是矩阵$\mathbf{K}$
• 这里矩阵就出现了！一个矩阵对应一种线性变换，因为矩阵本质上是线性方程组中的系数

何为线性代数

• 线性问题：一个问题关联着多个因素的量，且关联性是线性的，可以进而考察多元函数
• 线性方程：研究线性问题的方程，即一次方程
  ps. 线性方程里的变量，就是向量
• 线性代数：讨论线性方程及线性运算的代数

线性代数发源于线性方程组的求解，解线性方程组时通用的方式就是行列式，而引入函数、变换等概念后，就有了矩阵

线性映射

不要再用静态的观点理解函数和映射（“所有满足关系式的点构成线性函数的几何图形”），应该用动态的观点（“从从自变量的集合对应变换到因变量的集合的瞬间过程”）

• 注意，这里的“变量”是向量，可以简单理解为有向线段
• 所以，线性映射就是把向量映射成向量
  例如，$\mathbf{y}=\mathbf{K}\mathbf{x}$的含义就是，二维向量$\mathbf{x}$，经过二维矩阵映射，得到另一个二维向量$\mathbf{y}$（简单理解，线性映射就是把线段映射到线段，因为二维向量在平面内可以确定一个线段，而经过映射后，我们得到另一个线段。当然更高维向量可以以此类推）

线性变换

当线性映射发生在同一坐标系中，称为线性变换（把映射后的因变量的坐标轴，与原先的自变量的坐标轴对齐重合放置）

• 线性变换仍然满足之前所提到的“线性（可加性和比例性）”，因此能够反映线性空间中向量的内在联系，是线性空间的重要变换
• 同线性映射一样，线性变换把向量变成另外一个向量，或者说把“线”变成“线”
• 线性变换两个含义：变换空间里的向量,空间坐标系不变；或者变换坐标系而向量不变。两者是相对的，结果等价

说明：《线性代数学习笔记》中所有文章参考：
麻省理工学院 - MIT - 线性代数
3Blue1Brown-线性代数的本质