DataStructure篇：RBT（红黑树）

文章目录

一、红黑树设计及性质
二、红黑树的操作
- 2.1、插入操作
- 2.2、删除操作(后续更新..)

总结于：2023王道考研

一、红黑树设计及性质

1.1、为什么设计红黑树？

从理论上分析，平衡二叉树的效率已经足够高了，那为什么还需要设计红黑树呢，诶，问题就出在平衡二叉树的严格要求上面，这个严格要求就是 平衡二叉树的任何一颗树结点的左右子树高度差不能超过 1 ，我们知道，想要维护这个要求是需要付出不小的开销代价的，比如平衡二叉树的插入操作 与 删除操作 都很容易破坏这种 平衡特性，导致的结果就是需要频繁调整树的高度，这部分的开销还是不小的，由此，红黑树诞生了。

而 红黑树 的插入与删除操作大部分时候都不会破红黑特性，也不需要像AVL树一样频繁调整树的高度与形态，即使需要调整，一般都可以在常数级时间内完成

在这里插入图片描述

1.2、红黑树会怎么考？（针对考研学生）

🔥红黑树的定义、性质——选择题
🔥红黑树的插入/删除——要能手绘插入过程（不太可能考代码，较复杂），删除操作也比较麻烦，也许不考

1.3、红黑树的定义

① 包括AVL树的所有定义
② 每个结点不是红色就是黑色
③ 根节点为黑色
④ 叶节点(外部结点，NULL结点，失败结点)均为黑色
⑤ 不存在两个相邻的红结点（既红结点的父节点和孩子结点均为黑结点）
⑥ 对于每个结点，从该结点到任一叶结点的简单路径上，所含黑结点的数目是相同的

struct RBnode{
  int key;        // 关键值的值
  RBnode* parent; // 父结点
  RBnode* lChild; // 左结点
  RBnode* rChild; // 右结点
  int color       // 颜色值，0为黑色，1为红色，类似于AVL树的平衡因子
}
1
2
3
4
5
6
7

来张图看看红黑树，对比上面的定义来看最佳😄

在这里插入图片描述
下面来做一个小练习吧，判断下面的树是否符合红黑树的要求

很明显破坏了相邻结点不都为红色的要求，所以不是红黑树

再来一个例子

在这里插入图片描述

很明显破坏了对于每个结点，从该结点到任一叶结点的简单路径上，所含黑结点的数目是相同的的要求，所以它也不是红黑树
不知道大家观察到了没有，这棵树不仅不满足上面黑色结点数目要求，还不满足最基本的二叉排序树要求，上面的结点7小于结点8，但是结点7却在结点8的右边。

1.4、补充概念: 结点的"黑高"

结点的黑高bh 表示 从某结点出发（不包含该结点）到任一空叶节点的路径上黑结点总数

在这里插入图片描述

1.5、红黑树的性质

①、从根节点到叶节点的最长路径不大于最短路径的 2倍
②、有n个内部结点的红黑树的高度为 $\leqslant 2*\log_2(n+1)$
③、红黑树的`查找操作时间复杂度 $O(\log_2n)$ ，与AVL树的查找效率相同

二、红黑树的操作

2.1、插入操作

现在我们用一个实际的例子来演示红黑树的插入操作（建议先复习AVL树的插入操作相关知识）

从一颗空的红黑树开始，依次插入：20, 10, 5, 30, 40, 57, 3, 2, 4, 35, 25, 18, 22, 23, 24, 19, 18

先说一下插入的流程(略复杂)
在这里插入图片描述

插入根节点20，染成黑色
在这里插入图片描述

插入非根节点10，染成红色，原因是需要维持上述红黑树定义的性质六
在这里插入图片描述
插入非根节点5，由红黑树的定义可知，插入的位置及应该染的颜色如下

新节点与父节点都是红色，违反了定义五，那要怎么维持红黑树的定义呢

很容易判断根节点20的左右子树高度差超过了1，所以对结点20进行右旋，也就是LL操作

旋转完成后再进行染色操作，结点10位根节点，所以结点10染为黑色，20结点染为红色

接下来插入结点30，放入如下位置
在这里插入图片描述

很明显又违反了定义五，而结点30的叔叔结点是5，并且为红色，所以需要进行将叔父爷颜色逆转，结果如下

将爷结点当做新插入的结点，而新节点为根节点，所以新节点染成黑色

接下来插入结点40，放入如下位置
在这里插入图片描述

很明显又违反了定义五，而结点40的叔叔结点是NULL，为黑色，并且为红色，所以需要进行将其叔叔的父节点进行左旋，也就是RR操作，结果如下

接着进行再进行父叔爷颜色逆转，由于叔叔为NULL，故不需要颜色改变，最终结果如下

接下来插入结点57，放入如下位置
在这里插入图片描述

很明显又违反了定义五，而结点57的叔叔结点是20，并且为红色，所以需要进行将叔父爷颜色逆转，结果如下，此时平衡了，不需要其他调整

接下来插入结点3，放入如下位置，没毛病，不需要调整

接下来插入结点2，放入如下位置，破坏了平衡

很明显又违反了定义五，而结点2的叔叔结点是NULL，并且为黑色，所以需要进行将其叔叔的父节点进行右旋旋，也就是LL操作，结果如下
接着进行再进行父叔爷颜色逆转，由于叔叔为NULL，故不需要颜色改变，最终结果如下

接下来插入结点4，放入如下位置，破坏了平衡
在这里插入图片描述

很明显又违反了定义五，而结点4的叔叔结点是2，并且为红色，所以需要进行将叔父爷颜色逆转，结果如下，此时平衡了，不需要其他调整

此时红黑树已经平衡

接下来插入结点35，放入如下位置，没有破坏平衡
在这里插入图片描述
接下来插入结点25，放入如下位置，没有破坏平衡

接下来插入结点25，放入如下位置，没有破坏平衡

接下来插入结点22，放入如下位置，破坏了平衡

很明显又违反了定义五，而结点22的叔叔结点是18，并且为红色，所以需要进行将叔父爷颜色逆转，结果如下

爷结点变成新节点，还是破坏了平衡，继续调整新节点，而新结点20的叔叔结点是3，并且为红色，所以需要进行将叔父爷颜色逆转，结果如下

再次把新节点的爷结点当成新节点，由于此时新节点为根节点，只需要将根节点染为黑色即可