来自《Fundamentals of computer graphic》2.4.6 和 2.4.7。

从单个向量构造基底

我们经常需要一组与某个给定向量对齐的正交基底。
即，给定一个向量 $\mathbf{a}$，我们需要一组正交向量 $$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$$
其中 $\mathbf{w}$和 $\mathbf{a}$有相同的方向，但是我们不关心 $\mathbf{u},\mathbf{v}$具体是什么。一个向量不足以唯一地确定基底，我们只是需要一种鲁棒的机制来找到其中任意一种可能基底。
 
首先，使得 $\mathbf{w}$ 是 $\mathbf{a}$ 方向上的一个单位向量：
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{a}}{\Vert \mathbf{a}\Vert }$$
然后，选取同 $\mathbf{w}$ 不共线的任意一个向量 $\mathbf{t}$，如下构建一个正交于向量 $\mathbf{w}$ 的单位向量 $\mathbf{u}$:
$$\mathbf{u}=\frac{\mathbf{t}\times \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{t}\times \mathbf{w}\Vert }$$

叉积交换顺序也可以，但是需要确定得到的基底是右手坐标系。

如果 $\mathbf{t}$ 和$\mathbf{w}$共线或者接近共线，结果都不准确。
一个简单的机制是从 $\mathbf{w}$ 开始构造 $\mathbf{t}$，首先令 $\mathbf{t}$ 等于 $\mathbf{w}$，然后将其分量中绝对值最小的分量改为 1。
举个例子，如果 $\mathbf{w}=(1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0)$，那么， $\mathbf{t}=(1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},1)$ 。
在知道 $\mathbf{w}$ 和 $\mathbf{u}$后，
$$\mathbf{v}=\mathbf{w}\times \mathbf{u}$$
使用这种构造方法的一个场景是表面上色。一组和表面法线对齐的基底是需要的，但是关于发现的旋转是不重要的。

从两个向量构造基底

一个常见的例子是为一个相机构造一组基底；沿着相机看的方向有一个对齐的向量是重要的，但是围绕这个向量的旋转并不是任意的，而且这需要以某种方式指定。一旦确定了旋转，这组基底就完全决定了。
完全指定一帧的方法是通过提供两个向量$\mathbf{a}$（指定 $\mathbf{w}$）和 $\mathbf{b}$（指定$\mathbf{v}$）。如果这两个向量是正交的，那么构造第三个向量的简单的方法是通过 $\mathbf{u}=\mathbf{b}\times \mathbf{a}$。

$\mathbf{u}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 也是构造一组正交基，但是这是左手坐标系。

为了得到正交基底，即使输入的向量不正交，我们需要如下操作：
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{a}}{\Vert \mathbf{a}\Vert }$$
$$\mathbf{u}=\frac{\mathbf{b}\times \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{b}\times \mathbf{w}\Vert }$$
$$\mathbf{v}=\mathbf{w}\times \mathbf{u}$$
如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$平行，上述方法失效。在这种情况下，$\mathbf{b}$对于选择我们应该使用的与 $\mathbf{a}$ 正交的方向没有帮助。

在指定摄像机位置的例子中（本书 Section 4.3），我们想要构造一个帧：拥有平行于摄像机所观察的方向 $\mathbf{w}$，并且$\mathbf{v}$应该指向摄像机的顶部。