数学建模学习笔记：层次分析法（AHP）

评价类问题概述

评价类问题是指从多个评价对象中选择出最优者或对多个评价对象进行优先级排序。解决评价类问题可以通过打分的方式进行。每一个评价都有可能有多个不同的评价指标，而不同评价指标的权重往往不相同，因此需要科学地确定不同指标的权重，所有指标的权重之和为1。

评价类问题的三要素

首先确定评价的目标是什么；接着确定有哪些可以选择的评价对象；最后需要确定有哪些评价指标。在实际情况中，评价指标往往没有事先确定，因此需要自行确定评价指标。评价指标的确定方法有：根据问题的背景材料、生活常识以及相关资料的查找。通过查找资料确定评价指标时，首先查找知网、万方和百度学术等专业平台，接着再查找其他资料。一个好用的查找引擎是虫部落。

层次分析法步骤（重点）

层次分析法的核心思想就是由于同时确定多个指标的权重或不同方案的指标得分不方便，因此需要通过两个指标或不同方案同一指标之间两两比较的方法来确定各自的权重。以下步骤均假设评价对象和评价指标都已经完全确定。
①假设共有N个评价指标，则首先建立一个N×N的方阵，称为判断矩阵。方阵的每一行和每一列均表示一个指标。方阵中第i行第j列的元素表示的是第i个评价指标相对于第j个评价指标的重要程度，可以取1-9之间的整数或它们的倒数。后面的步骤中可以通过这个矩阵获取每个指标的权重。
备注：在实际应用中，该方阵的元素是“由相关专家填写”，但是在建模比赛中只能依靠自身进行填写。

容易证明该矩阵中第j行第i列的元素和第i行第j列的元素互为倒数，因此称该矩阵为正互反矩阵。矩阵对角线上的元素均为1。

②假设共有M个评价方案，则对于每一个指标，都需要建立一个M×M的方阵，同样也称为判断矩阵。方阵的每一行与每一列均表示一个方案，第i行第j列的元素表示第i个方案在该指标下相对于第j个方案的满意程度，同样只能取1-9之间的整数或它们的倒数。该方阵的性质与指标判断矩阵的性质相同。后面的步骤中可以通过这些方阵计算不同方案在该指标下的得分。
③由于上面步骤填写的判断矩阵可能存在互相矛盾的地方，因此需要检验判断矩阵的矛盾程度，也就是进行判断矩阵的一致性检验：
1.计算判断矩阵的一致性指标CI：CI=(最大特征值-n)/(n-1)，其中n为矩阵的阶数。
2.通过下表，确定n在一定取值时的平均随机一致性指标RI：

3.计算一致性比例CR：CR=CI/RI。
如果CR<0.1，则认为矩阵的一致性可以接受；否则需要对矩阵进行一定程度的修正。
修正的方向：一致性比例为0的矩阵称为一致矩阵，其各行各列之间呈倍数关系。修正的方向即将不一致矩阵尽可能朝该方向进行转化。
④根据上面得到的判断矩阵计算不同指标的权重和不同方案在给定指标下的得分。首先需要对权重进行归一化：将矩阵中的每一个元素除以其所在列的元素之和即得到归一化后的元素。对于一致矩阵，进行归一化后的矩阵中任意一列的元素即代表不同指标的权重或不同方案对于某一指标的得分；对于非一致矩阵，则需要进行下面的处理：
方法1：通过算术平均法计算权重：对进行归一化后的矩阵中各列权重取算术平均值作为最终的权重。
方法2：通过几何平均法计算权重：对进行归一化后的矩阵中各列权重取几何平均值作为最终的权重。
方法3：首先求出判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量，然后对该特征向量进行归一化即可得到最终的权重。

备注：实际使用中，出于对模型的稳健性考虑，建议同时使用三种方法并取平均值。

⑤列出最终的得分表格并计算最终的得分：表格的第一列表示所有评价指标，第二列为所有指标的对应权重，后面的各列分别表示一个评价方案。根据不同指标的权重和各个评价方案在某个指标上的得分计算最终的方案得分并进行排序比较即可。

层次分析法局限性

①层次分析法中可选的评价对象个数不能过多（最多不能超过15个）；
②如果在某些指标下已经存在一些客观数据可以用于评价的情况，则不适合使用层次分析法进行评价。

层次分析法拓展模型

当层次分析法的某个评价指标可以进一步划分为多个更小的评价指标时，也可以通过层次分析法进行二级划分求解。