差分方程模型

1.斐波那契（Fibonacci）数列的通项

菲波那切在13世纪提出，一对兔子出生一个月后开始繁殖，每个月出生一对新生兔子
，假定兔子只繁殖，没有死亡，问第k个月出会有多少对兔子：
解：
以对为单位，每个月繁殖兔子对数构成一个数列，这便是著名的斐波那契数列，
$1,1,2,3,5,\mathrm{8...}$,，此书列$F_k$，满足条件：
$$F_0=1,F_1=1,F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$$
**解法1：**差分方程的特征根解法
差分方程的特征根为：
$${\lambda }^2-\lambda -1=0$$
特征根${\lambda }_1=$$\frac{1-\sqrt{5}}{2},{\lambda }_2=$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是互异的。所以通解为：
$$F_k=c_1{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^k+c_2{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^k$$
利用初值条件：$F_0=1,F_1=1$，得到方程组：

{ c 1 + c 2 = 1 c 1 ( 1 − 5 2 ) + c 2 ( 1 + 5 2 ) = 1

{c1​+c2​=1c1​(21−5 ​​)+c2​(21+5 ​​)=1​

解得：$c_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10},c_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}$
于是：初值问题的解为：

$$F_k=\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}\right){\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^k+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}\right){\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^k$$
代码:

import sympy as sp
sp.var("t,c1,c2")
t0=sp.solve(t**2-t-1)#求解特征根方程,
eq1=c1+c2-1
eq2=c1*t0[0]+c2*t0[1]-1
s=sp.solve([eq1,eq2])#求解线性方程组
print("c1=",s[c1],"\n""c2=",s[c2])#输出线性方程组的解
print("初值问题的解为：""\n",s[c1]*t0[0]+s[c2]*t0[1])#输出初始问题的解
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解法二：直接利用python软件求解

import sympy as sp
sp.var("k")
y=sp.Function("y")
f=y(k+2)-y(k+1)-y(k)
s=sp.rsolve(f,y(k),{y(0):1,y(1):1})#注意这里是rsolve
print(s)
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