斜率优化DP

任务安排1

来源: https://www.acwing.com/problem/content/302/

题目描述

有 $N$ 个任务排成一个序列在一台机器上等待执行，它们的顺序不得改变。

机器会把这 $N$ 个任务分成若干批，每一批包含连续的若干个任务。

从时刻 $0$ 开始，任务被分批加工，执行第 $i$ 个任务所需的时间是 $T_i$。

另外，在每批任务开始前，机器需要 $S$ 的启动时间，故执行一批任务所需的时间是启动时间 $S$ 加上每个任务所需时间之和。

一个任务执行后，将在机器中稍作等待，直至该批任务全部执行完毕。

也就是说，同一批任务将在同一时刻完成。

每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 $C_i$。

请为机器规划一个分组方案，使得总费用最小。

输入格式

第一行包含整数 $N$。

第二行包含整数 $S$。

接下来 $N$ 行每行有一对整数，分别为 $T_i$ 和 $C_i$，表示第 $i$ 个任务单独完成所需的时间 $T_i$ 及其费用系数 $C_i$。

输出格式

输出一个整数，表示最小总费用。

数据范围

$1\le N\le 5000$,
$0\le S\le 50$,
$1\le T_i,C_i\le 100$

输入样例：

5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4
1
2
3
4
5
6
7

输出样例：

153
1

思路分析

状态表示

f[i] 表示考虑 1~i 所有合法方案中代价的最小值

状态计算

仍然按照前一批任务结束的位置划分，设为 j , 0 <= j <= i-1，则从 j+1 到 i 是当前这一批的所有子任务，而 1 到 j 的花费是 f[j] 。 只需要计算从 j+1 到 i 这一批的花费。

我们预处理出时间和费用的前缀和 sumT, sumC, 考虑其中的某一批 从 j+1 到 i , 该批次的花费为 (sumT[i] + (n-1) * S) * (sum[i] - sum[j]) ，其中 n 表示 j 之前的批次数，由此我们可以发现，前面批次的启动时间会对当前及后续批次的代价产生影响。

怎么解决这个问题呢？可以对花费重新整合，将该批次启动时间对后续批次的影响累加到当前批次中。

从 j+1 到 i 的花费为 sumT[i] * (sumC[i] - sumC[j]) + S * (sumC[N] - sumC[j])

最终表达式: f[i] = f[j] + sumT[i] * (sumC[i] - sumC[j]) + S * (sumC[N] - sumC[j])

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5010;
ll f[N];
int sumT[N], sumC[N];

int n, S;

//sumT[i] * (sumC[i] - sumC[j]) + S * (sumC[N] - sumC[i])

inline int read(){
    int num = 0;
    char c;
    bool flag = false;
    while ((c = getchar()) == ' ' || c == '\n' || c == '\r');
    if (c == '-') flag = true;
    else num = c - '0';
    while (isdigit(c = getchar()))
    num = num * 10 + c - '0';
    return (flag ? -1 : 1) * num;
}
int main()
{

    n = read(), S = read();
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        sumT[i] += sumT[i-1] + read(), sumC[i] += sumC[i-1] + read();
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j < i; j ++)
            f[i] = min(f[i], f[j] + (ll)sumT[i] * (sumC[i] - sumC[j]) + (ll)S * (sumC[n] - sumC[j]));
    printf("%lld\n", f[n]);
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39