Kućice

题目链接：luogu P8031

题目大意

二维平面上有一些点，保证不存在重合的点和散点共线。
求每一个点集的凸包包含的点数的和。

思路

考虑如果每一个凸包都包含了每一个点，那答案是多少：$n{2}^n$
考虑减去不合法的，考虑是怎样的一种情况。

考虑枚举一个点，考虑它不在哪些点集中
不难想象如果你如果弄一个它跟另一个点的线（就是钦定这个点一定要在点集中），那你剩下可以选的点一定就只能在这个线划分成的半平面中的一侧。

那不难想到就是双指针，把其他的点按极角排序，然后用双指针维护固定的一面有多少个。
然后统计一种统计一面，因为另一边到时也会计算到。
然后你再看看如果这一面有 $x$ 个点（假设包括上了你那条线上的另一个点），给多少的贡献，那就是 $2^x$（因为你只看你一开始枚举的点是否贡献）

然后弄就好了。

代码

#include
#include
#include
#define mo 1000000007
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 1005;
struct node {
	int x, y;
	double k;
}a[N], b[N];
node operator +(node x, node y) {return (node){x.x + y.x, x.y + y.y, 0.0};}
node operator -(node x, node y) {return (node){x.x - y.x, x.y - y.y, 0.0};}
ll operator *(node x, node y) {return 1ll * x.x * y.y - 1ll * x.y * y.x;}
int n;
ll jc[N], inv[N], invs[N], two[N], ans;

ll C(int n, int m) {
	if (m < 0 || m > n) return 0;
	return jc[n] * invs[m] % mo * invs[n - m] % mo;
}
ll ksm(ll x, int y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo; y >>= 1;
	}
	return re;
} 

void Init() {
	jc[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	invs[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) invs[i] = invs[i - 1] * inv[i] % mo;
	two[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) two[i] = two[i - 1] * 2 % mo;
}

bool cmp(node x, node y) {return x.k < y.k;}

int main() {
	freopen("booth.in", "r", stdin);
	freopen("booth.out", "w", stdout);
	
	Init();
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d %d", &a[i].x, &a[i].y);
	}
	
	ans = (two[n] - 1 + mo) % mo * n % mo;
	for (int i = 0; i < n; i++) { int m = 0;
		for (int j = 0; j < n; j++) if (j != i)
			b[m++] = a[j] - a[i], b[m - 1].k = atan2(b[m - 1].y, b[m - 1].x);
		sort(b, b + m, cmp);
		int now = 0;
		for (int j = 0; j < m; j++) { 
			while (j != (now + 1) % m && b[j] * b[(now + 1) % m] > 0) now = (now + 1) % m;
			(ans += mo - two[(now - j + m) % m] % mo) %= mo;
		}
	}
	
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68