最小费用最大流问题

一、问题描述

在网络中求一个最大流f，使流的总输送费用最小。

$b(f)=\sum _{(v_i,v_j)}{b}_{ij}{f}_{ij}$ ) （ $b_{ij}$ 表示弧 $(v_i,v_j)$ 的费用）

伴随网络流 $f$ 的增流网络：设 $f$ 是网络 $D=(V,A,C,F,B)$ 的一个网络流，按照以下规则构建一个新的网络 $D_f=(V,A^{{}^{\prime }},C^{{}^{\prime }},B^{{}^{\prime }})$，该网络称为伴随 $f$ 的增流网络。

V为顶点集，A为弧集，C为容量集，F为流量集，B为费用集

• 顶点：网络 $D_f$ 的顶点与网络 $D$ 的顶点相同；

• 弧与权：

  • 在 $D$ 中的弧 $(v_i,v_j)$ 若为零流弧，即 $f_{ij}=0$ ，则在 $D_f$ 中构建一条同向的弧，$c_{ij}^{{}^{\prime }}=c_{ij}-f_{ij}$ ，$b_{ij}^{{}^{\prime }}=b_{ij}$
    网络D:

    增流网络 $D_f$ :

  • 在D中的弧 $(v_i,v_j)$若为饱和弧，即$f_{ij}=c_{ij}$ ，则在 $D_f$ 中构建一条反向的弧，$c_{ij}^{{}^{\prime }}=f_{ij}$ ， $b_{ij}^{{}^{\prime }}=-b_{ij}$
    网络D：

    增流网络 $D_f$：

  • 在D中的弧 $v_i,v_j$ 若为非饱和弧，即 $f_{ij}<c_{ij}$ ，则在 $D_f$ 中分别构建一条同向的弧和一条反向的弧，同向的弧 $c_{ij}^{{}^{\prime }}=c_{ij}-f_{ij}$ ，$b_{ij}^{{}^{\prime }}=f_{ij}$ ；反向的弧 $c_{ij}^{{}^{\prime }}=f_{ij}$ ， $b_{ij}^{{}^{\prime }}=-b_{ij}$
    网络D：

    增流网络$D_f$：

• 负回路：在增流网络$D_f$中，所有的权（费用）之和小于零的回路称为负回路。

• 增流圈：在增流网络$D_f$中的负回路对应网络D中的一个圈，在这个圈中，如果方向与这个负回路方向相同的所有弧都为不饱和弧，方向与负回路方向相反的所有弧都为非零流弧，则这个圈称为增流圈。

二、求解思路

解法I：求得最大流量调整流量分布达到最小费用

1. 利用最大流算法，将网络的流量调整到最大流
2. 构建伴随网络流 $f$ 的增流网络 $D_f$
3. 在增流网络 $D_f$ 中，查找关于费用的负回路，令 $\theta =min{c}_{ij}^{{}^{\prime }}$ （ $c_{ij}^{{}^{\prime }}$ 为负回路中各弧的容量），若不存在负回路，则说明当前网络流已经是最小费用流，结束算法。
4. 针对负回路对应网络 $D$ 中的圈，若该圈是增流圈，则把增流圈方向上与负回路方向一致的所有弧的流量加上 $\theta$ ，把增流圈方向上与负回路方向相反的所有弧的流量减去 $\theta$ ；若该圈不是增流圈，则转到步骤3重新寻找负回路。

解法II：满足最小费用寻找最小费用增广链达到最大流量

1. 从网络D的零流f开始，构建伴随网络流f的增流网络 $D_f$ （此处 $D_f$ 中的权只需要费用 $c_{ij}^{{}^{\prime }}$）
2. 在增流网络 $D_f$ 中用最短路径算法寻找从源到汇的最短路径，则该最短路径即对应网络D中的一条最小费用增广链；若找不到从源到汇的最短路，说明已经得到最大流，结束算法
3. 在网络D中调整流量。前向弧上令 ${\theta }_j=c_{ij}-f_{ij}$ ，后向弧上令 ${\theta }_j=f_{ij}$ ，调整量 θ = m i n   { θ j } \theta = min\space \{\theta_{j}\} θ=min {θj​}
4. 重复步骤1、2、3，直到在增流网络 $D_f$ 中找不到从源到汇的最短路

三、实例

增流网络实例

有如下网络D：

其对应的增流网络如下：

过程：

1. $V_1$ -> $V_2$ 其权值为(4,4,2)，也就是 $(c_{12},f_{12},b_{12})$ 容量为4、当前流量为4，费用为2，也即饱和弧， 饱和弧只能做减流调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条反向的弧，权值为(4,-2)，4的计算是能调整的流量数，容量为4，流量为4，向下减流最多能减4，故第一个参数为4，因为是减流，所以取费用的负数-2.
2. $V_1$ -> $V_3$ 其权值为(2,0,4)，也就是 $(c_{13},f_{13},b_{13})$ 容量为2、当前流量为0，费用为4，也即零流弧， 零流弧只能做增流调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧，权值为(2,4)，2的计算是能调整的流量数，容量为2，流量为0，向上增流最多能增2，故第一个参数为2，因为是增流，所以取费用的正数2.
3. $V_2$ -> $V_3$ 其权值为(5,3,2)，也就是 $(c_{23},f_{23},b_{23})$ 容量为5、当前流量为3，费用为2，也即不饱和弧， 不饱和弧能做增流和减流两种调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧和一条反向的弧，权值分别为(2,2)和(3,-2)，对于同向增流弧2的计算是能调整的流量数，容量为5，流量为3，向上增流最多能增2，故第一个参数为2，因为是增流，所以取费用的正数2；同理，反向弧第一参数为3，第二个参数为-2.
4. $V_2$ -> $V_4$ 其权值为(3,1,4)，也就是 $(c_{24},f_{24},b_{24})$ 容量为3、当前流量为1，费用为4，也即不饱和弧， 不饱和弧能做增流和减流两种调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧和一条反向的弧，权值分别为(2,4)和(1,-4)，对于同向增流弧2的计算是能调整的流量数，容量为3，流量为1，向上增流最多能增2，故第一个参数为2，因为是增流，所以取费用的正数4；同理，反向弧第一参数为1，第二个参数为-4.
5. $V_3$ -> $V_4$ 其权值为(4,3,1)，也就是 $(c_{34},f_{34},b_{34})$ 容量为4、当前流量为3，费用为1，也即不饱和弧， 不饱和弧能做增流和减流两种调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧和一条反向的弧，权值分别为(1,1)和(3,-1)，对于同向增流弧1的计算是能调整的流量数，容量为4，流量为3，向上增流最多能增1，故第一个参数为1，因为是增流，所以取费用的正数1；同理，反向弧第一参数为3，第二个参数为-1.

解法I实例

实例

首先寻找最大流，从起点出发到终点结束，将流量充满，得到最大流量图。

然后构建增流网络

构建好之后寻找负回路，可见这条负回路的最小容量为4，则 $\theta$ 取4

调整原网络，可以看到对应原网络中为增流圈，与负回路与负回路方向一致的所有弧的流量加上 $\theta$ ，把增流圈方向上与负回路方向相反的所有弧的流量减去 $\theta$ 得到网络 $D_2$

构建 $D_2$ 的增流网络 $D_{f2}$

寻找负回路，发现已经找不到负回路，说明网络 $D_2$ 已经是最小费用，结束算法，得到最小费用最大流，最大流为11，最小费用为： $3\times 4+8\times 1+4\times 2+4\times 3+7\times 1+4\times 2=55$

解法II实例

暂略待更