无偏估计：Unbiased Estimation
最小方差无偏估计: Minimum Variance Unbiased Estimation (MVU)
在正式开始介绍之前，我们需要熟悉一些基本概念。
（1） 什么是参数估计？
站在数学角度，我们有一个数据集合
{
x
[
0
]
,
x
[
1
]
,
⋯
x
[
N
−
1
]
}
\{x[0],x[1],\cdots x[N-1]\}
{x[0],x[1],⋯x[N−1]}，包含
N
N
N点数据，这
N
N
N个点的数据依赖于参数
θ
\theta
θ。我们希望能够通过这
N
N
N点数据来估计出
θ
\theta
θ，或者用数学语言描述为：定义一个估计器(estimator)
θ
^
=
g
(
x
[
0
]
,
x
[
1
]
,
⋯
x
[
N
−
1
]
)
(1)
\hat{ \theta} = g \left( x[0] ,x[1],\cdots x[N-1] \right) \tag{1}
θ^=g(x[0],x[1],⋯x[N−1])(1)
其中 g g g是一个函数，因此估计器其实就是一个函数。这便是参数估计（parameter estimation）问题的本质。
强调：估计器(estimator) θ ^ \hat{\theta} θ^ 是一个随机变量。这相对比较容易理解，首先数据本身是随机的(data are inherently random)，从式(1)可以看出， θ ^ \hat{\theta} θ^是多个随机变量经过一个固定映射关系得到的，因此 θ ^ \hat{\theta} θ^本身也是一个随机变量。( ⇐ \Leftarrow ⇐ The estimate of θ \theta θ is the value of θ \theta θ obtained for a given realization of x \boldsymbol{x} x)。另外，要区分 θ ^ \hat{\theta} θ^和 θ \theta θ， θ ^ \hat{\theta} θ^一定是随机变量，但是是否把 θ \theta θ看作随机变量则将估计问题划分为两种类型：
（2） 数学意义上，我们如何整体性地看待参数估计问题？
整体意义上去理解，我们可以参数估计问题，分解为以下两个大步骤：
Step-1: 首先要做的就是对数据进行建模(model the data)，因为数据固有的随机性，我们使用概率密度函数(PDF)来描述数据这种的随机性质，写为
p
(
x
[
0
]
,
x
[
1
]
,
⋯
x
[
N
−
1
]
;
θ
)
p\left( x[0] ,x[1],\cdots x[N-1]; \theta \right)
p(x[0],x[1],⋯x[N−1];θ)。我们将这个概率密度函数解释为：The PDF is parameterized by the unknown parameter
θ
\theta
θ, i.e., we have a class(family) of PDFs where each one is different due to a different value of
θ
\theta
θ.
例: 如果
N
=
1
,
θ
N=1, \ \theta
N=1, θ表示均值，那么描述数据的PDF可能是
p
(
x
[
0
]
;
θ
)
=
1
2
π
σ
2
exp
(
−
1
2
σ
2
(
x
[
0
]
−
θ
)
2
)
(2)
p(x[0]; \theta) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (x[0] - \theta)^2 \right) \tag{2}
p(x[0];θ)=2πσ21exp(−2σ21(x[0]−θ)2)(2)
在实际问题当中，我们可能不会给一个确定的PDF，这时我们必须要选择一个不仅与问题约束契合，而且数学上方便展开计算的PDF进行建模。因为任何估计器的性能都强烈依赖于PDF的假设。
一般地，我们将估计器分为两类
{
classical estimation: the parameters of interest are assumed to be deterministic but unknown
Baysian estimation: the parameter we are attempting to estimate is viewed as a *realization* of the random variable
θ
为了与式(2)区分，在贝叶斯估计中，我们用联合PDF(joint PDF)来描述数据
p
(
x
,
θ
)
=
p
(
x
∣
θ
)
p
(
θ
)
(3)
p(\boldsymbol{x}, \theta) = p(\boldsymbol{x}| \theta) p(\theta) \tag{3}
p(x,θ)=p(x∣θ)p(θ)(3)
其中 p ( θ ) p(\theta) p(θ)是先验概率。从先验概率可以看出，两种估计方式的区别就在于是否把参数 θ \theta θ看作是随机变量，如果是随机变量，那么就有先验概率。
另外，我们还要能够区分两种PDF：
p
(
x
;
θ
)
p(\boldsymbol{x}; \theta)
p(x;θ)和
p
(
x
∣
θ
)
p(\boldsymbol{x}|\theta)
p(x∣θ)
{
p
(
x
;
θ
)
:
a family of PDFs
p
(
x
∣
θ
)
:
a conditional PDF
Step-2: 一旦确定好PDF，问题就转变成，我们基于该PDF来确定一个如式(1)所示的估计器。补充：估计器也能将参数作为自变量，但要求该参数是已知的。
（3） Important Points
An estimator is a random variable. As such, its performance can only be completely described statistically or by its PDF.
我们主要关注对未知确定(unknown but deterministic)参数的估计。
无偏估计的定义
对于任意未知但确定的参数
θ
\theta
θ，如果估计器
θ
^
\hat{\theta}
θ^ 满足：
E
p
(
x
;
θ
)
(
θ
^
)
=
θ
∀
θ
(4)
\mathbb{E}_{p(\boldsymbol{x}; \theta)} (\hat{\theta}) = \theta \ \ \ \ \forall \theta \tag{4}
Ep(x;θ)(θ^)=θ ∀θ(4)
其中估计器 θ ^ = g ( x [ 0 ] , x [ 1 ] , ⋯ x [ N − 1 ] ) \hat{\theta}=g \left( x[0] ,x[1],\cdots x[N-1] \right) θ^=g(x[0],x[1],⋯x[N−1])。
更具体地写为：
E
p
(
x
;
θ
)
(
θ
^
)
=
∫
θ
^
p
(
x
;
θ
)
d
x
=
∫
g
(
x
)
p
(
x
;
θ
)
d
x
=
θ
^
,
∀
θ
(5)
如果一个估计器是有偏估计，我们用下式对其进行描述
E
(
θ
^
)
=
θ
+
b
(
θ
)
(6)
\mathbb{E}(\hat{\theta}) = \theta + b (\theta) \tag{6}
E(θ^)=θ+b(θ)(6)
其中 b ( θ ) = E ( θ ^ ) − θ b (\theta) = \mathbb{E}(\hat{\theta}) - \theta b(θ)=E(θ^)−θ被称为估计器的偏置(bias of the estimator)
在寻找最优估计器的时候，我们经常会采用一些最优性准则，其中一种很自然的准则就是最小均方误差(MSE: Mean Square Error)，定义为：
mse
(
θ
^
)
=
E
[
(
θ
^
−
θ
)
2
]
(7)
\text{mse} (\hat{\theta}) = \mathbb{E} \left [ (\hat{ \theta} - \theta)^2 \right ] \tag{7}
mse(θ^)=E[(θ^−θ)2](7)
但不幸的是，采用这种自然的MSE准则会导致估计器无法实现，因为估计器不能仅仅使用数据来表征。为了理解这个问题，我们将MSE写为
mse
(
θ
^
)
=
E
{
[
(
θ
^
−
E
[
θ
^
]
)
+
(
E
[
θ
^
−
θ
)
]
]
2
}
=
var
[
θ
^
]
+
[
E
[
θ
^
]
−
θ
]
2
=
var
[
θ
^
]
+
b
2
(
θ
)
(8)
式(8)说明了MSE包含了估计器产生的方差，以及偏执(bias)。因此如果我们依据最小MSE准则来设计估计器，那么等价于最小化 var [ θ ^ ] + b 2 ( θ ) \text{var} [\hat{\theta}] + b^2 (\theta) var[θ^]+b2(θ)，这牵涉到了所要估计的参数 θ \theta θ，所以是不可实现的。
换一个角度来考虑，如果我们要求估计器是无偏的，那么这时最小化MSE就等价于最小化方差。这样的估计器，我们称之为：最小方差无偏估计器( MVU )。
事实上，即使MVU估计器存在，我们也不一定能找到它。我们可能可以通过以下三种方式来寻找MVU估计器
Approach 1 and 2 may produce the MVU estimator, while 3 will yield it only if the MVU estimator is linear in the data.
[1] Steven, Kay. (2001). Fundamentals Of Statistical Signal Processing.