☆打卡算法☆LeetCode 29、两数相除 算法解析

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大家好，我是小魔龙，Unity3D软件工程师，VR、AR，虚拟仿真方向，不定时更新软件开发技巧，生活感悟，觉得有用记得一键三连哦。

一、题目

1、算法题目

“给定两个整数，进行相除，不能使用乘法、除法和mod运算符。”

题目链接：

来源：力扣（LeetCode）

链接：29. 两数相除 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

2、题目描述

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2

示例 1：
输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3
1
2
3
4

示例 2：
输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2
1
2
3
4

二、解题

1、思路分析

这个题首先需要考虑整数溢出或边界情况：

当被除数为最小值-2³²时：

• 除数为1，可以直接返回答案-2³²。
• 除数为-1，那么答案为2³²，产生了溢出，需要返回2³²-1

当除数为最小值-2³²时：

• 除数同样为-2³²，返回答案1
• 其他情况，返回0

当除数为0时，返回0。

然后，记被除数和除数为X和Y，结果为Z，使用二分查找法，得到X/Y的最大结果Z，即使得Z x Y ≥ Z成立。

Z x Y的值，可以使用快速乘方法得到。

2、代码实现

代码参考：

public class Solution {
    public int Divide(int dividend, int divisor) {
        // 考虑被除数为最小值的情况
        if (dividend == int.MinValue) {
            if (divisor == 1) {
                return int.MinValue;
            }
            if (divisor == -1) {
                return int.MaxValue;
            }
        }
        // 考虑除数为最小值的情况
        if (divisor == int.MinValue) {
            return dividend == int.MinValue ? 1 : 0;
        }
        // 考虑被除数为 0 的情况
        if (dividend == 0) {
            return 0;
        }
        
        // 一般情况，使用二分查找
        // 将所有的正数取相反数，这样就只需要考虑一种情况
        bool rev = false;
        if (dividend > 0) {
            dividend = -dividend;
            rev = !rev;
        }
        if (divisor > 0) {
            divisor = -divisor;
            rev = !rev;
        }
        
        int left = 1, right = int.MaxValue, ans = 0;
        while (left <= right) {
            // 注意溢出，并且不能使用除法
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            bool check = quickAdd(divisor, mid, dividend);
            if (check) {
                ans = mid;
                // 注意溢出
                if (mid == int.MaxValue) {
                    break;
                }
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        return rev ? -ans : ans;
    }

    // 快速乘
    public bool quickAdd(int y, int z, int x) {
        // x 和 y 是负数，z 是正数
        // 需要判断 z * y >= x 是否成立
        int result = 0, add = y;
        while (z != 0) {
            if ((z & 1) != 0) {
                // 需要保证 result + add >= x
                if (result < x - add) {
                    return false;
                }
                result += add;
            }
            if (z != 1) {
                // 需要保证 add + add >= x
                if (add < x - add) {
                    return false;
                }
                add += add;
            }
            // 不能使用除法
            z >>= 1;
        }
        return true;
    }
}
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3、时间复杂度

时间复杂度 ： O(log² C)

其中 C 表示 32 位整数的范围。二分查找的次数为 O(logC)，其中的每一步我们都需要 O(logC) 使用「快速乘」算法判断 Z×Y≥X 是否成立，因此总时间复杂度为 O(log² C)

空间复杂度： O(1)

只用到常数级的变量。

三、总结

如果我们将被除数和除数的其中（恰好）一个变为了正数，那么在返回答案之前，我们需要对答案也取相反数。