总目录：https://blog.csdn.net/treesorshining/article/details/125726400

1.概述

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题，常常在使用中以森林来表示。正如其名，主要有查找与合并两个操作。

2.基本操作

2.1 初始化

初始化将所有结点的双亲设为-1。

// 并查集初始化操作
void Initial(int S[]) {
    // 初始化将所有结点的双亲设为-1
    for(int i = 0;i < SIZE;i++) {
        S[i] = -1;
    }
}
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2.2 查（时间复杂度O(n)）

查操作，找到x所属结合（即返回x所属根结点），时间复杂度O(n)。

// 查操作，找到x所属结合（即返回x所属根结点）
// 时间复杂度O(n)
int Find(int S[], int x) {
    // 循环寻找x的根，根的双亲为-1，循环结束则表示已找到双亲
    while(S[x] >= 0) {
        x = S[x];
    }
    return x;
}
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广工数据结构课程设计实验-二叉树的实现（代码+实验报告+运行程序）

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2.3 并（时间复杂度O(1)）

并操作，将两个集合合并为一个，时间复杂度O(1)。

void Union(int S[], int Root1, int Root2) {
    // Root1与Root2是相同集合则不可合并
    if(Root1 == Root2) {
        return;
    }
    // 合并即是将令一棵树称为另一棵树的子树
    // 将根Root2连接到另一根Root1下面
    S[Root2] = Root1;
}
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2.4 并优化（查时间复杂度O(log2n)）

Union操作优化
目的：减少Find操作的所需的时间
方法：在构建新树时，尽可能不让树长高（这样可以降低Find操作最坏时间复杂度）
具体实现方法：将根结点的值改为(-结点数，即负结点数)，再根据此为依据，让小树合并到大树上
通过此优化树的高度不会超过log2n(向下取整) + 1
之后Find操作的最坏时间复杂度为O(log2n)

// Union操作优化
// 目的：减少Find操作的所需的时间
// 方法：在构建新树时，尽可能不让树长高（这样可以降低Find操作最坏时间复杂度）
// 具体实现方法：将根结点的值改为(-结点数)，再根据此为依据，让小树合并到大树上
// 通过此优化树的高度不会超过log2n(向下取整) + 1
// 之后Find操作的最坏时间复杂度为O(log2n)
void UnionOptimize(int S[], int Root1, int Root2) {
    // Root1与Root2是相同集合则不可合并
    if(Root1 == Root2) {
        return;
    }
    // 比较树的结点数，将小树合并到大树
    if(S[Root2] > S[Root1]) {
        // 更新树的结点数
        S[Root1] += S[Root2];
        // 合并
        S[Root2] = Root1;
    } else {
        // 更新树的结点数
        S[Root2] += S[Root1];
        // 合并
        S[Root1] = Root2;
    }
}
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2.5 查优化(时间复杂度O(a(n))

Find操作优化（压缩路径）
先找到根结点，再将查找路径上所有结点都挂到根结点下
在再次寻找时，只需要很短路径就能找到了
每次Find操作，先找根，再压缩路径，可使树的高度不超过O(a(n))
a(n)是一个增长缓慢的函数，对于常见n值，通常a(n)<=4

// Find操作优化（压缩路径）
// 先找到根结点，再将查找路径上所有结点都挂到根结点下
// 在再次寻找时，只需要很短路径就能找到了
// 每次Find操作，先找根，再压缩路径，可使树的高度不超过O(a(n))
// a(n)是一个增长缓慢的函数，对于常见n值，通常a(n)<=4
int FindOptimize(int S[], int x) {
    int root = x;
    while(S[root] >= 0) {
        // 循环找到根结点
        root = S[root];
    }
    // 压缩路径
    while(x != root) {
        // 令t指向x的父结点
        int t = S[x];
        // x直接挂到根结点下
        S[x] = root;
        x = t;
    }
    // 返回结点编号
    return root;
}
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3.完整代码

#include

#define SIZE 13

// 通常用数组元素下标代表元素名，用根节点下标代表子集合名，根节点双亲默认设为-1
// 集合元素数组（双亲指针数组）
int UFSets[SIZE];

// 并查集初始化操作
void Initial(int S[]) {
    // 初始化将所有结点的双亲设为-1
    for(int i = 0;i < SIZE;i++) {
        S[i] = -1;
    }
}

// 查操作，找到x所属结合（即返回x所属根结点）
// 时间复杂度O(n)
int Find(int S[], int x) {
    // 循环寻找x的根，根的双亲为-1，循环结束则表示已找到双亲
    while(S[x] >= 0) {
        x = S[x];
    }
    return x;
}

// 并操作，将两个集合合并为一个
// 时间复杂度O(1)
void Union(int S[], int Root1, int Root2) {
    // Root1与Root2是相同集合则不可合并
    if(Root1 == Root2) {
        return;
    }
    // 合并即是将令一棵树称为另一棵树的子树
    // 将根Root2连接到另一根Root1下面
    S[Root2] = Root1;
}

// Union操作优化
// 目的：减少Find操作的所需的时间
// 方法：在构建新树时，尽可能不让树长高（这样可以降低Find操作最坏时间复杂度）
// 具体实现方法：将根结点的值改为(-结点数)，再根据此为依据，让小树合并到大树上
// 通过此优化树的高度不会超过log2n(向下取整) + 1
// 之后Find操作的最坏时间复杂度为O(log2n)
void UnionOptimize(int S[], int Root1, int Root2) {
    // Root1与Root2是相同集合则不可合并
    if(Root1 == Root2) {
        return;
    }
    // 比较树的结点数，将小树合并到大树
    if(S[Root2] > S[Root1]) {
        // 更新树的结点数
        S[Root1] += S[Root2];
        // 合并
        S[Root2] = Root1;
    } else {
        // 更新树的结点数
        S[Root2] += S[Root1];
        // 合并
        S[Root1] = Root2;
    }
}

// Find操作优化（压缩路径）
// 先找到根结点，再将查找路径上所有结点都挂到根结点下
// 在再次寻找时，只需要很短路径就能找到了
// 每次Find操作，先找根，再压缩路径，可使树的高度不超过O(a(n))
// a(n)是一个增长缓慢的函数，对于常见n值，通常a(n)<=4
int FindOptimize(int S[], int x) {
    int root = x;
    while(S[root] >= 0) {
        // 循环找到根结点
        root = S[root];
    }
    // 压缩路径
    while(x != root) {
        // 令t指向x的父结点
        int t = S[x];
        // x直接挂到根结点下
        S[x] = root;
        x = t;
    }
    // 返回结点编号
    return root;
}

int main() {
    int temp[13] = {-1, 0, -1, -1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 7};
    for(int i = 0;i < SIZE;i++) {
        UFSets[i] = temp[i];
    }
    printf("%d\n", Find(UFSets, 0));
    printf("%d\n", Find(UFSets, 3));
    Union(UFSets, 0, 3);
    printf("%d\n", Find(UFSets, 0));
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