1.博弈

博弈论是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。

每个玩家都有一个偏好，A一般是希望A赢，如果不可以的话就倾向于 平局，B一般倾向B赢，达不到的话就倾向于平局。他们的每一步组成了一个“函数”，或者说是“映射”，即每一步操作都会对应一种结果，而每一步又都不是固定的，是根据上一步来产生......

 “一般的博弈游戏是非常复杂的，一般算不出答案，所以在算法考试中一般不考，考得多的是下面的‘组合游戏’”

2.组合游戏（combinatorial game）

 组合游戏 给了限制，给问题做了简化

“ 状态的转移” -> “有向无环图”

 Bash游戏

 0个石子为结束状态，0可以由1得来，可以由2得来，由3得来...4可以到达3，2，1.....。21为起点，这个可以在有限步内结束。

Bash游戏是一个组合游戏

讨论这个游戏的最优策略，以及在最优策略下谁会赢

P N态

注意上图的“性质”，与Bash游戏无关，所有的组合游戏都适用。

 

 浅解释：对于上图，玩家A到达0后玩家B就不能再取了，游戏结束(A胜)，所以0为P态（A走到0，A胜）；到达1的玩家，取走这一个石子后下一玩家到达0，则走下一步的玩家赢 该玩家败，1为N态；……能到P态的都是N态，我们称“当前玩家” 为从当前这个状态往下走的玩家，则P态：当前玩家输，N态：当前玩家赢。对于P态，无论怎么走都会输，所以就是最优策略了，而N态 要到达P态，使自己赢。

P N态是我们分析博弈问题的一个最基础的工具。【一般都是倒推】

确定终态：正常规则与反常规则

 Bash游戏是正常规则，那么反常规则的Bash游戏呢？（照样倒着 “递推”）

 例题

1.【hdu 1404】Digital Diletions

 2.【hdu 1079】Calendar Game

 所以一个非常重要的"万能"的方法就是： 打表（学会了打表，博弈题基本上就解决了一半）

我们再回过头来看第一题，他不满足 组合游戏的定义（组合游戏不会有平局），但依然可以用其思想来解决，这里可以dp、递推，我们只关心那些“数对”（回文判定时的首尾呼应的数对）的个数，而它们具体在什么位置我们并不关心，“1-1”就可以不用管了，下图的f, 我们要记录“0-0”对的数量，“0-1”对的数量，0的个数，以及上一步是否进行了翻转操作....

3.【cf 1527 B2】Paindrome Game

 

 4.小牛再战

分析：

（这里手动“打表”了先）N=0时，P态（正常规则）；N=1时，可以全部取走，N态；

    N=2时，设这两堆：x1>=x2>0; 首先，显然（emogg说的，受伤了啊我），x1==x2 为P态，因为我们从x1取一部分走(放不放到x2都一样) 变成 y, x2 ,如果y=0, 那就进入N=1的N态了->此时x1==x2为P态；若y!=0, 第二个玩家总能将其变为相等的两堆：在x2那堆拿走（x2-y）个石子....也就是总与上个玩家“作对”，这样x1>x2就是N态。N=3时，是N态，设x1>=x2>=x3>0 ,那么从x1拿（x2-x3）个给x3(多的扔掉), 得到 0，x2, x2（P态）; 我们是可以保证x1>(x2-x3)的（因为x1>=x2, x2>x2-x3啊）所以N=3为N态；

 结论：

1.N是奇数->N态；

2.N是偶数时，两两成对就是P, 否则是N;

 

证明：

先全都排个序：x1>=x2>=x3>=...>=xn;

N是奇数的时候，取最大的那个，分配到后面（全部=x2）x1 >( x2-x3）+（x4-x5）+（x6-x7）.....+(X[n-1] - X[n]) 只要把后面括号顺序改一下就可以看出来了：x1 > x2 (- x3+x4) (-x5+x6) (-x7..)...( +X[n-1] ) - Xn; 括起来的都是小于0的，又x1>=x2 ....

N是偶数的时候，两两成对为P态，不成对则可以一步变成两两成对的P态->为N态，详见下图吧。。

5.【cf 1537 D】Deleting Divisors