卡方分布和伽马函数(Chi-Square Distribution)

伽马函数

要定义卡方分布，我们需要首先定义伽马函数：
$$\Gamma (p)={\int }_0^{+\infty }{x}^{p-1}{e}^{-x}dx,p>0\text{\hspace{1em}(1)}$$

如果我们使用分部积分，
Γ ( p ) = ∫ 0 + ∞ x p − 1 e − x d x = ∫ 0 + ∞ − x p − 1 d e − x = − x p − 1 e − x ∣ 0 + ∞ − ∫ 0 + ∞ [ − e − x ( p − 1 ) x p − 2 ] d x = ( p − 1 ) Γ ( p − 1 ) (2)

Γ(p)​=∫0+∞​xp−1e−xdx=∫0+∞​−xp−1de−x=−xp−1e−x∣0+∞​−∫0+∞​[−e−x(p−1)xp−2]dx=(p−1)Γ(p−1)​(2)

通过这种方式，我们可以证明伽玛函数服从一个有趣的递归关系。
Γ ( p ) = ( p − 1 ) Γ ( p − 1 ) = ( p − 1 ) ( p − 2 ) Γ ( p − 2 ) = ( p − 1 ) ( p − 2 ) ⋯ Γ ( 1 ) (3)

\tag{3} Γ(p)​=(p−1)Γ(p−1)=(p−1)(p−2)Γ(p−2)​=(p−1)(p−2)⋯Γ(1)​(3)

容易计算
$$\Gamma (1)=1\text{\hspace{1em}(4)}$$

因此，我们可以得到
$$\Gamma (p)=(p-1)!\text{\hspace{1em}(5)}$$

另外，我们可以计算
Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 + ∞ x − 1 2 e − x d x = 2 ∫ 0 + ∞ e − x d x 1 2 = 2 ∫ 0 + ∞ e − u 2 d u = 2 ⋅ 2 π 1 2 ⋅ 1 2 π 1 2 ∫ 0 + ∞ e − u 2 d u = 2 π ⋅ 1 2 = π (6)

Γ(21​)​=∫0+∞​x−21​e−xdx=2∫0+∞​e−xdx21​=2∫0+∞​e−u2du=2⋅2π21​ ​⋅2π21​ ​1​∫0+∞​e−u2du=2π ​⋅21​=π ​​(6)

卡方分布

如果$\mathbf{x}$由$n$个独立同分布(i.i.d.)的随机变量构成，$x_i\sim \mathcal{N}(0,1),i=0,1,\cdots ,n$，那么
$$y=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\sim {\chi }_n^2\text{\hspace{1em}(7)}$$

where ${\chi }_n^2$ denotes a ${\chi }^2$ random variable with $n$ degree of freedom. PDF:
p ( y ) = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) y n 2 − 1 exp ⁡ − ( 1 2 y )   for  y ≥ 0 0                                       for  y < 0 (8) p(y) =

\tag{8} p(y)={22n​Γ(2n​)1​y2n​−1exp−(21​y)  for y≥00                                      for y<0​(8)

其中$\Gamma (u)$是伽马函数。随机变量$y$的均值和方差分别为：
E [ y ] = n var [ y ] = 2 n (9)

\tag{9} E[y]var[y]​=n=2n​(9)

补充
如果$x_i\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2),i=0,1,\cdots ,n$，那么
p ( y ) = { 1 σ n 2 n 2 Γ ( n 2 ) y n 2 − 1 exp ⁡ − ( 1 2 σ 2 y )   for  y ≥ 0 0                                       for  y < 0 (10) p(y) =

\tag{10} p(y)={σn22n​Γ(2n​)1​y2n​−1exp−(2σ21​y)  for y≥00                                      for y<0​(10)

这时，随机变量$y$的均值和方差分别为：
E [ y ] = n σ 2 var [ y ] = 2 n σ 4 (11)

\tag{11} E[y]var[y]​=nσ2=2nσ4​(11)